Test de propriété

En informatique théorique, un test de propriété (ou property testing en anglais) est un test probabiliste qui a pour objectif de déterminer si un objet donné, par exemple un graphe ou une fonction, possède une propriété fixée ou bien s'il est « loin » de l'avoir. Ces algorithmes ont l'avantage d'être très rapides. Les testeurs de propriété sont notamment utiles pour tester que des grands graphes ont certaines propriétés. Exemple introductif Considérons l'exemple simpliste suivant : on cherche à savoir si un graphe est vide ou relativement loin de l'être. Plus précisément on cherche à savoir si le graphe donné en entrée (dont le nombre de nœud est noté n) n'a aucune arêtes ou bien a au moins \epsilon n^2 arêtes. Le type de requêtes est le suivant : on choisit k sommets et on reçoit le sous-graphe induit par ces k sommets. L'algorithme est simple : choisir au hasard uniformément k sommets, si le sous-graphe induit est vide renvoyé vide sinon renvoyer non vide. D

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COM-406: Foundations of Data Science

We discuss a set of topics that are important for the understanding of modern data science but that are typically not taught in an introductory ML course. In particular we discuss fundamental ideas and techniques that come from probability, information theory as well as signal processing.

On Sums of Locally Testable Affine Invariant Properties

Elena Grigorescu, Ghid Maatouk

Affine-invariant properties are an abstract class of properties that generalize some central algebraic ones, such as linearity and low-degree-ness, that have been studied extensively in the context of property testing. Affine invariant properties consider functions mapping a big field Fqn to the subfield Fq and include all properties that form an Fq -vector space and are invariant under affine transformations of the domain. Almost all the known locally testable affine-invariant properties have so-called “single-orbit characterizations” — namely they are specified by a single local constraint on the property, and the “orbit” of this constraint, i.e., translations of this constraint induced by affine-invariance. Single-orbit characterizations by a local constraint are also known to imply local testability. In this work we show that properties with single-orbit characterizations are closed under “summation”. To complement this result, we also show that the property of being an n-variate low-degree polynomial over Fq has a single-orbit characterization (even when the domain is viewed as Fqn and so has very few affine transformations). As a consequence we find that the sum of any sparse affine-invariant property (properties satisfied by q O(n)-functions) with the set of degree d multivariate polynomials over Fq has a single-orbit characterization (and is hence locally testable) when q is prime. We conclude with some intriguing questions/conjectures attempting to classify all locally testable affine-invariant properties.

Springer2011

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