Éponge de Menger

L'éponge de Menger, parfois appelée éponge de Menger-Sierpinski, est un solide fractal. Il s'agit de l'extension dans une troisième dimension de l'ensemble de Cantor et du tapis de Sierpiński. Elle fut décrite pour la première fois par le mathématicien autrichien Karl Menger . Fichier:Menger-Schwamm.jpg|Éponge de Menger après quatre [[itération]]s. Fichier:Menger sponge (2D).jpg|Face d'une éponge de Menger, ou [[tapis de Sierpiński]]. Fichier:Menger4_Coupe.jpg|Éponge de Menger coupée par un plan transversal. File:Mengerschwamm without main light light strength 0,65 8K.png|Éponge de Menger en [[ray tracing]]. Formellement, l'éponge de Menger est l'ensemble : où est le cube unité et La construction d'une éponge de Menger peut être décrite de la manière suivante : débuter par un cube ; réduire le cube au tiers et en faire 20 copies ; placer ces copies de telle façon qu'elles forment un nouveau cube de la même taille que l'original, sans les parties centrales ; répéter le processus à partir de l'étape 2 pour chacun des 20 cubes ainsi créés. vignette|upright=3.2|centré|Quatre premiers stades de la construction d'une éponge de Menger. Le solide obtenu à la limite, après un nombre infini d'itérations, est l'éponge de Menger. À chaque itération, on multiplie le nombre de cubes par 20, ce qui fait que le solide créé à l'itération n contient 20n cubes. L'éponge de Menger est une fractale dont la dimension de Hausdorff vaut , soit à peu près 2,726 833. Chaque face de l'éponge de Menger est un tapis de Sierpinski. Toute intersection de l'éponge de Menger avec une diagonale ou une médiane du cube initial est un ensemble de Cantor. L'éponge de Menger est un espace fermé ; puisqu'il est également borné, le théorème de Heine-Borel stipule qu'il est également compact. L'éponge de Menger est un ensemble non-dénombrable de mesure de Lebesgue nulle. La dimension topologique de l'éponge de Menger est égale à 1 ; elle fut d'ailleurs construite initialement par Menger pour explorer le concept de dimension topologique.

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Fractal curve

A fractal curve is, loosely, a mathematical curve whose shape retains the same general pattern of irregularity, regardless of how high it is magnified, that is, its graph takes the form of a fractal. In general, fractal curves are nowhere rectifiable curves — that is, they do not have finite length — and every subarc longer than a single point has infinite length. A famous example is the boundary of the Mandelbrot set. Fractal curves and fractal patterns are widespread, in nature, found in such places as broccoli, snowflakes, feet of geckos, frost crystals, and lightning bolts.

Fractale

vignette|Exemple de figure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot)|alt=Exemple de figure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot). vignette|Ensemble de Julia en . Une figure fractale est un objet mathématique qui présente une structure similaire à toutes les échelles. C'est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, il est possible de retrouver toute la figure ; on dit alors qu’elle est « auto similaire ».

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Le flocon de Koch () est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrites, bien avant l'invention du terme « fractal(e) » par Benoît Mandelbrot. Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch. thumb|Les 4 premières étapes de la construction. thumb|Les 6 premières courbes successives en animation. On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante : On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales.

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