Flocon de Koch

Le flocon de Koch () est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrites, bien avant l'invention du terme « fractal(e) » par Benoît Mandelbrot. Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch. thumb|Les 4 premières étapes de la construction. thumb|Les 6 premières courbes successives en animation. On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante : On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales. On construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape. On supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape. Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une section transversale d'un chapeau de sorcière. La courbe de Koch est la réunion des sommets des lignes polygonales obtenues lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-avant. Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est La courbe de Koch a une longueur infinie. En effet en supposant que la courbe ait une longueur L, celle-ci serait supérieure à la longueur de chacune des lignes polygonales obtenues à chaque étape de la construction de la courbe. Or la longueur de ces lignes tend vers l'infini, parce qu'à chaque étape de construction de la courbe, la longueur de la ligne polygonale est multipliée par quatre tiers. La surface délimitée par la courbe est cependant finie, car contenue dans le demi-disque dont le diamètre est le segment initial. Si l'on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération n, on ajoute . L'aire totale s'obtient finalement en sommant une série géométrique convergente : La courbe de Koch constitue un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points.