Le flocon de Koch () est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrites, bien avant l'invention du terme « fractal(e) » par Benoît Mandelbrot.
Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch.
thumb|Les 4 premières étapes de la construction.
thumb|Les 6 premières courbes successives en animation.
On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :
On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales.
On construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape.
On supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.
Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une section transversale d'un chapeau de sorcière.
La courbe de Koch est la réunion des sommets des lignes polygonales obtenues lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-avant.
Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est
La courbe de Koch a une longueur infinie. En effet en supposant que la courbe ait une longueur L, celle-ci serait supérieure à la longueur de chacune des lignes polygonales obtenues à chaque étape de la construction de la courbe. Or la longueur de ces lignes tend vers l'infini, parce qu'à chaque étape de construction de la courbe, la longueur de la ligne polygonale est multipliée par quatre tiers.
La surface délimitée par la courbe est cependant finie, car contenue dans le demi-disque dont le diamètre est le segment initial. Si l'on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération n, on ajoute . L'aire totale s'obtient finalement en sommant une série géométrique convergente :
La courbe de Koch constitue un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points.
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Le triangle de Sierpiński, ou tamis de Sierpińsky, également appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński, est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński qui l'a décrit en 1915. Il peut s'obtenir à partir d'un triangle « plein », par une infinité de répétitions consistant à diviser par deux la taille du triangle puis à les accoler en trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle. À chaque répétition le triangle est donc de même taille, mais « de moins en moins plein ».
A fractal curve is, loosely, a mathematical curve whose shape retains the same general pattern of irregularity, regardless of how high it is magnified, that is, its graph takes the form of a fractal. In general, fractal curves are nowhere rectifiable curves — that is, they do not have finite length — and every subarc longer than a single point has infinite length. A famous example is the boundary of the Mandelbrot set. Fractal curves and fractal patterns are widespread, in nature, found in such places as broccoli, snowflakes, feet of geckos, frost crystals, and lightning bolts.
En informatique théorique, un L-système ou système de Lindenmayer est un système de réécriture ou grammaire formelle, inventé en 1968 par le biologiste hongrois Aristid Lindenmayer. Un L-système modélise le processus de développement et de prolifération de plantes ou de bactéries. C'est une forme de grammaire générative. Ces grammaires ont été mises en œuvre graphiquement par de nombreux auteurs, menant à de spectaculaires images. Une étude systématique d'une certaine formulation a été entreprise par dans les années 1980.
Introduction to the application of the notions and methods of theoretical physics to problems in biology.
The students study and apply fundamental concepts and algorithms of computer graphics for rendering, geometry
synthesis, and animation. They design and implement their own interactive graphics program
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Couvre la définition des générateurs du groupe conforme et l'application du théorème de Wick.
Polymer plasma produced by laser ablation is investigated in a theoretical manner. In relation to the fact that the charge carrier circulation is assumed to take place on fractal curves, the so-called fractality type, electrical charge transport can be res ...
In this study, one method of using antennas based on fractals to cover few kinds of public protection and disaster relief (PPDR) communications was presented. Dedicated antenna forms, necessary for antenna design by 5G implementation, were enhanced to suit ...
The projection of fifth-generation (5G) fractal antennas and their advantageous geometry are examined. The fact that fractal-shaped antennas based on Koch Snowflake geometry are suitable for higher frequencies was shown above all. By the instrumentality of ...