Série de Hahn

En mathématiques, une série de Hahn (parfois appelée série de Hahn–Maltsev–Neumann) est une série formelle généralisant la notion de série de Puiseux ; les séries de Hahn acceptent des exposants arbitraires de l'indéterminée, tant que l'ensemble de ces exposants est un sous-ensemble bien ordonné du groupe (valué) de ces exposants (typiquement ou ). Ces séries furent introduites par Hans Hahn en 1907 dans la démonstration de son , puis étudiées par lui en tant que corps dans son approche du dix-septième problème de Hilbert ; vers 1950, elles furent généralisées encore par Anatoli Maltsev et Bernhard Neumann au cas non commutatif. L'ensemble des séries de Hahn (d'indéterminée T), sur un corps K, avec un groupe ordonné d'exposants Γ , est l'ensemble des expressions de la forme avec , telles que le support de f, , est bien ordonné. On définit la somme et le produit de et de par et (dans cette dernière expression, la somme (prise sur les couples tels que et ) est finie, parce que à fixé, si on prend les en ordre croissant, la suite des est décroissante, et donc finie puisque le support est bien ordonné) ; avec ces définitions, est un corps. Par exemple, est une série de Hahn (sur n'importe quel corps) puisque l'ensemble des rationnels est bien ordonné (et isomorphe à ) ; ce n'est pas une série de Puiseux, parce que la suite des dénominateurs des exposants n'est pas bornée ; si le corps de base K est de caractéristique p, cette série vérifie l'équation , et est donc algébrique sur . La valuation d'une série de Hahn non nulle est définie comme le plus petit élément du support de , autrement dit le plus petit tel que ; cela fait de un corps valué où l'intersection de toute suite décroissante de boules est non vide (on dit que est ). Si est de caractéristique nulle, est (à isomorphisme près) la seule extension sphériquement complète de ayant pour groupe de valuation. La valuation définit une topologie sur , et si , v correspond à une valeur absolue ultramétrique , pour laquelle est un espace métrique complet.