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Concept
Valuation
Résumé
En mathématiques, plus particulièrement en géométrie algébrique et en théorie des nombres, une valuation, ou valuation de Krull, est une mesure de la multiplicité. La notion est une généralisation de la notion de degré ou d'ordre d'annulation d'un polynôme formel en algèbre, du degré de divisibilité par un nombre premier en théorie des nombres, de l'ordre d'un pôle en analyse complexe ou du nombre de points de contact entre deux variétés algébriques en géométrie algébrique.
On appelle valuation une application d'un anneau commutatif unitaire non nul vers un groupe abélien totalement ordonné union l'infini
qui vérifie les propriétés suivantes :
ce qui est relié à l'inégalité triangulaire dans les espaces métriques.
Notes :
On utilise les conventions classiques et pour tout .
Certains auteurs se restreignent aux valuations sur un corps commutatif.
Que A soit ou non un corps, v est un morphisme de monoïdes de (A*, ×) dans (G, +).
Lorsque A est un corps, v est donc un morphisme de groupes de (A*, ×) dans (G, +), si bien que v(A*) est un sous-groupe de G.
Lorsque A est un corps, on demande parfois à v d'être surjective, mais on peut toujours se ramener à cette situation en remplaçant G par v(A*).
Deux valuations v et v' sur A sont dites équivalentes s'il existe un isomorphisme de demi-groupes ordonnés
Lorsque le groupe G est Z, v est dite valuation de Dedekind ou valuation discrète. Deux valuations discrètes v et v' sur A sont équivalentes si et seulement si elles sont proportionnelles, c'est-à-dire s'il existe un rationnel k non nul tel que
Les classes d'équivalence des valuations discrètes sur un anneau sont appelées ses places.
La seule valuation discrète correspondant au groupe trivial est appelée la valuation triviale :
Soit A un anneau commutatif unitaire non nul muni d'une valuation v. Alors :
A est intègre ;
il existe une unique valuation w sur le corps des fractions Frac(A) qui prolonge v :
Théorème d'Ostrowski
Les places de Q, c'est-à-dire les valuations discrètes sur Q à un facteur de proportionnalité près, sont celles de :
la valuation triviale ;
les valuations p-adiques .
Source officielle
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