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Concept
Nombre polygonal
Résumé
En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en disposant d'une certaine manière des cailloux ou des pois.
Par exemple, le nombre 10 peut être représenté par un triangle équilatéral ayant quatre pois sur chaque côté :
{|
| align="center" |
|}
Notations : P = T = 10.
Nombre triangulaire
Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré.
Au contraire : par exemple, le nombre 9 peut être représenté par un carré ayant trois pois sur chaque côté :
{|
| align="center" |
|}
Notations : P = 3 = 9.
Nombre carré
Mais 9 ne peut pas être représenté par un triangle.
En outre : par exemple, le nombre 36 peut être représenté à la fois par un carré ayant six pois sur chaque côté et par un triangle ayant huit pois sur chaque côté :
{|
|- align="center" valign="bottom"
|
|
|
|}
Notations : P = 6 = 36 = T = P.
Nombre carré triangulaire
La méthode pour passer d'un polygone au suivant consiste à prolonger d'un seul point chacun des deux côtés adjacents à un seul sommet, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes ci-dessous, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour tout entier k ≥ 3, par convention, posons P = 0 ; pour tout entier n ≥ 1, le nombre de points rouges du n-ième k-gone est :
C'est le gnomon associé à P, et faisant passer à P.Pour tout entier k ≥ 3, (P – P) est donc la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison k – 2 et pour tout entier n ≥ 0, le n-ième nombre k-gonal est la somme des n premiers termes de cette suite :
Pour tout entier n ≥ 0, le n-ième nombre triangulaire est
De l'expression de P ^Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomons, on déduit que pour tout entier n ≥ 1 :
pour tout entier k ≥ 3, ;
Pour tout entier k ≥ 3, les premier et (k + 1)-ième nombres k-gonaux sont aussi k-gonaux centrés :
Pour tout entier k ≥ 3 :
le 2-ième nombre k-gonal, P = k, peut évidemment être premier ;
mais vu son expression ^Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomons, un nombre k-gonal de rang n ≥ 3 ne peut pas être premier (contrairement à un nombre k-gonal centré).
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