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Concept
Nombre figuré
Résumé
En arithmétique, un nombre figuré est un nombre entier qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon plus ou moins régulière et formant une figure géométrique. Il répond donc à une classe particulière de problèmes de dénombrement.
Les nombres figurés sont d'origine très ancienne. On attribue généralement à Pythagore les premières études de nombres figurés (nombres carrés). Diophante a résolu plusieurs problèmes les concernant. Pascal a écrit un traité sur le sujet.
Les nombres figurés les plus simples sont
Les nombres carrés
Les nombres triangulaires
Les nombres hexagonaux centrés
Ils correspondent par exemple à la répartition des cônes de couleur au centre de la rétine, ou à celle des alvéoles d'abeilles.
Les nombres cubiques :
1, 8, 27, 64
qui dessinent un cube dans l'espace.
En pédagogie, le passage par le nombre figuré permet de visualiser des propriétés comme la commutativité ou l'associativité des lois d'addition et de multiplication – lois qui sont dictées en construisant des rangées ou des tables de points. La relation 2 + 3 = 3 + 2 = 5, par exemple, qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour l'addition, peut être représentée par
= + =
Et la relation 2 × 3 = 3 × 2 = 6 (qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour la multiplication) peut être représentée par
On voit qu'on peut passer d'un rectangle à l'autre par rotation de 90° donc sans changer le nombre d'éléments. D'autre part, la somme est la simple juxtaposition des lignes des rectangles.
L'étude des nombres figurés consiste en général à trouver une relation entre le nombre lui-même et son rang dans la série. Par exemple, le nombre triangulaire de rang n est n(n + 1)/2. Le nombre cubique de rang n est n. Les concepts des nombres figurés font intervenir implicitement le concept « moderne » de récurrence.
Une deuxième voie de recherche est de déterminer les propriétés des nombres figurant dans une même série. Par exemple, il est facile de montrer qu'il n'y a aucun nombre premier parmi les nombres triangulaires (sauf 3), carrés ou rectangles.
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