Nombre plastique

Le nombre plastique, de symbole ψ (à lire psi), est l'unique solution réelle de l'équation du troisième degré : C'est un entier algébrique de degré 3, qui s'exprime par radicaux imbriqués : et dont une valeur approchée est . À l'instar du nombre d'or, il est à la base d'un système de proportions qui fait partie d’une méthode générale de conception en arts plastiques. En ce qui concerne le nombre plastique, ce système a été introduit par Hans van der Laan (1904-1991), moine bénédictin et architecte des Pays-Bas. Il fut également étudié par l’ingénieur polytechnicien français Gérard Cordonnier, qui appelle ce nombre le nombre radiant. Le nombre plastique est lié à la suite de Padovan. Le nombre plastique est la solution réelle de l'équation x = x + 1. Il s'exprime donc comme itération infinie de racines cubiques : Les deux autres solutions de l'équation sont deux nombres complexes conjugués, racines de l'équation du second degré x + ψx + 1/ψ = 0. Le nombre ψ est le plus petit nombre de Pisot. De l'égalité ψ = ψ + 1, on déduit : où (P) est la suite de Padovan (prolongée de façon naturelle aux indices négatifs). Par exemple : égalités directement liées au découpage d'un segment imaginé par Gérard Cordonnier . On peut citer aussi qui fait de ψ le seul nombre à être, avec le nombre d'or, un nombre morphique. Un nombre morphique est un nombre réel qui est solution conjointe de deux équations de la forme où n et p sont des entiers naturels non nuls. Ce résultat fut démontré en 2001 par Jan Aarts, Robbert Fokkink et Godfried Kruijtzer. Le nombre ψ est la limite de la suite des quotients de termes consécutifs de la suite de Padovan Les deux derniers quotients fournissent un encadrement de ψ inférieur à 5 × 10. Certaines puissances de ψ s'expriment comme sommes de séries géométriques : pour p > 0, on a si et seulement si (exemples : (p, q) = (1, 5), (2, 3), (3, –1), (3, 2), (5, 1)). En 1924, Gérard Cordonnier invente une variante de la division d'un segment entre moyenne et extrême raison en imaginant le découpage d'un segment en trois parties définissant 6 sections en progression géométrique.