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Concept
Classe de Selberg
Résumé
En mathématiques , la classe de Selberg est une définition axiomatique d'une classe de fonctions L. Les éléments de la classe sont des séries de Dirichlet qui obéissent à quatre axiomes ayant pour objectif d'énoncer les propriétés fondamentales satisfaites par la plupart des fonctions communément appelées fonctions L ou fonctions zêta.
Bien que la nature exacte de la classe soit encore à l'état de conjecture, on espère que sa définition conduira à une classification de son contenu et à une élucidation de ses propriétés, y compris une idée plus claire de leurs liens avec les formes automorphes et avec l'hypothèse de Riemann. La classe a été introduite par Atle Selberg dans , qui a préféré ne pas utiliser le terme axiome utilisé ultérieurement par d'autres auteurs.
La définition formelle de la classe S est l’ensemble de toutes les séries de Dirichlet
absolument convergentes pour Re ( s ) > 1 qui satisfont quatre axiomes (ou hypothèses telles que les nomme Selberg):
analyticité: se prolonge en une fonction méromorphe dans tout le plan complexe, avec un unique pôle (s'il existe) quand s vaut 1;
conjecture de Ramanujan: et pour tout ;
équation fonctionnelle: il existe un facteur de la forme
où Q est réel et positif, est la fonction gamma, les sont réels et positifs et les sont des nombres complexes de partie réelle positive, et il existe également une racine de l'unité
tel que la fonction
satisfasse
produit eulérien: pour Re(s) > 1, F(s) peut s'écrire comme le produit portant sur tous les nombres premiers:
avec
et pour ,
La condition que la partie réelle de μ i soit positive est qu'il existe des fonctions L qui ne satisfont pas l'hypothèse de Riemann lorsque μ i est négatif. Plus précisément, il existe des formes de Maass associées à des valeurs propres exceptionnelles, pour lesquelles la conjecture de Ramanujan-Peterssen est vérifiée , et ont une équation fonctionnelle, mais ne vérifient pas l'hypothèse de Riemann.
La condition que θ < 1/2 est importante, car le cas θ = 1/2 inclut la fonction eta de Dirichlet, qui viole l'hypothèse de Riemann.
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