En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques.
Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale. Comme pour les six autres problèmes du millénaire, l'énoncé exact de la conjecture à démontrer est accompagné d'une description détaillée, fournissant de nombreuses informations sur l'historique du problème, son importance, et l'état des travaux à son sujet ; beaucoup des remarques informelles de cette page en proviennent.
Fonction zêta de Riemann
La fonction zêta de Riemann est définie pour tous les nombres complexes s de partie réelle strictement supérieure à 1 par
Leonhard Euler l’introduit (sans lui donner de nom) uniquement pour des valeurs réelles de l’argument (mais aussi pour ), en liaison, entre autres, avec sa solution du problème de Bâle. Il montre qu'elle est donnée par le produit eulérien où le produit infini porte sur tous les nombres premiers p, mais ne converge pas forcément : en effet, dans le Théorème 7 de son article, Euler donne une démonstration de cette formule pour le cas (tout en notant que ), et il l’établit en général dans son Théorème 8. C'est ce résultat qui explique l'intérêt de la fonction zêta dans l'étude de la répartition des nombres premiers (Euler déduit par exemple du cas , dans le Théorème 19 du même article que la série des inverses des nombres premiers est divergente). Le résultat reste bien entendu valable lorsque l’argument est complexe.
L'hypothèse de Riemann porte sur les zéros de cette fonction en dehors du domaine de convergence qu'on vient de voir, ce qui peut sembler n'avoir aucun sens.
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En théorie des nombres, la conjecture faible de Goldbach, aussi connue comme la conjecture impaire de Goldbach ou le problème des trois nombres premiers, affirme que : tout nombre impair supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs. (Un nombre premier peut être utilisé plus d'une fois dans la même somme). Cette conjecture est qualifiée de « faible » car la conjecture forte de Goldbach concernant les sommes de deux nombres premiers, si elle était démontrée, établirait la conjecture faible de Goldbach.
In mathematics, the Z function is a function used for studying the Riemann zeta function along the critical line where the argument is one-half. It is also called the Riemann–Siegel Z function, the Riemann–Siegel zeta function, the Hardy function, the Hardy Z function and the Hardy zeta function. It can be defined in terms of the Riemann–Siegel theta function and the Riemann zeta function by It follows from the functional equation of the Riemann zeta function that the Z function is real for real values of t.
En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C'est la série des inverses des entiers naturels non nuls. Elle tire son nom par analogie avec la moyenne harmonique, de la même façon que les séries arithmétiques et géométriques peuvent être mises en parallèle avec les moyennes arithmétiques et géométriques. Elle fait partie de la famille plus large des séries de Riemann, qui sont utilisées comme séries de référence : la nature d'une série est souvent déterminée en la comparant à une série de Riemann et en utilisant les théorèmes de comparaison.
In this course we will describe in numerous examples how methods from l-adic cohomology as developed by Grothendieck, Deligne and Katz can interact with methods from analytic number theory (prime numb
This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex
A language is said to be homogeneous when all its words have the same length. Homogeneous languages thus form a monoid under concatenation. It becomes freely commutative under the simultaneous actions
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This overview is concerned with the well-posedness problem for the isentropic compressible Euler equations of gas dynamics. The results we present are in line with the programof investigatingthe effic
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We study the Riemann problem for multidimensional compressible isentropic Euler equations. Using the framework developed in Chiodaroli et al (2015 Commun. Pure Appl. Math. 68 1157-90), and based on th