Concept

Série hypergéométrique basique

Résumé

En mathématiques, les séries hypergéométriques basiques de Heine, ou q-séries hypergéométriques, sont des généralisations q-analogues des séries hypergéométriques généralisées, à leur tour étendues par les séries hypergéométriques elliptiques. Une série xn est appelée hypergéométrique si le rapport de deux termes successifs xn+1/xn est une fraction rationnelle de n. Si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle en qn, alors la série est dite hypergéométrique basique, et le nombre q est appelé base. La série hypergéométriques basique 2φ1(qα,qβ;qγ;q,x) a d'abord été introduite par . On retrouve la série hypergéométrique F(α,β;γ;x) à la limite si la base q vaut 1. Il existe deux formes de séries hypergéométriques basiques, les séries hypergéométriques basiques unilatérales φ, et les plus générales, les séries hypergéométriques basiques bilatérales ψ. Les séries hypergéométriques basiques unilatérales sont définies par avec et est le q-symbole de Pochhammer. Le cas spécial le plus important correspond à j=k + 1, où on obtient Cette série est dite balancée si a1 ... ak + 1 = b1 ...bkq. Elle est dite bien équilibrée si a1q = a2b1 = ... = ak + 1bk, et très bien équilibrée si on a en plus a2 = −a3 = qa11/2. La série hypergéométrique basique unilatérale est une q-analogue de la série hypergéométrique dans le sens où elle vérifie Les séries hypergéométriques basiques bilatérales, correspondant aux séries hypergéométriques bilatérales, sont définies par Le cas spécial le plus important correspond à j=k, où elle devient Les séries unilatérales peuvent être obtenues comme un cas particulier des bilatérales en fixant une des variables b égales à q, au moins quand aucune des variables a est une puissance de q, car alors tous les termes correspondant à n < 0 s'annulent dans ce cas. Parmi les cas les plus simples, on trouve et et Le théorème q-binomial (publié pour la première fois en 1811 par Heinrich August Rothe établit que qui s'obtient en appliquant à plusieurs reprises l'identité Le cas spécial a = 0 est liée à la q-exponentielle.

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_hypergéométrique_basique

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