Série hypergéométrique basique

En mathématiques, les séries hypergéométriques basiques de Heine, ou q-séries hypergéométriques, sont des généralisations q-analogues des séries hypergéométriques généralisées, à leur tour étendues par les séries hypergéométriques elliptiques. Une série xn est appelée hypergéométrique si le rapport de deux termes successifs xn+1/xn est une fraction rationnelle de n. Si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle en qn, alors la série est dite hypergéométrique basique, et le nombre q est appelé base. La série hypergéométriques basique 2φ1(qα,qβ;qγ;q,x) a d'abord été introduite par . On retrouve la série hypergéométrique F(α,β;γ;x) à la limite si la base q vaut 1. Il existe deux formes de séries hypergéométriques basiques, les séries hypergéométriques basiques unilatérales φ, et les plus générales, les séries hypergéométriques basiques bilatérales ψ. Les séries hypergéométriques basiques unilatérales sont définies par avec et est le q-symbole de Pochhammer. Le cas spécial le plus important correspond à j=k + 1, où on obtient Cette série est dite balancée si a1 ... ak + 1 = b1 ...bkq. Elle est dite bien équilibrée si a1q = a2b1 = ... = ak + 1bk, et très bien équilibrée si on a en plus a2 = −a3 = qa11/2. La série hypergéométrique basique unilatérale est une q-analogue de la série hypergéométrique dans le sens où elle vérifie Les séries hypergéométriques basiques bilatérales, correspondant aux séries hypergéométriques bilatérales, sont définies par Le cas spécial le plus important correspond à j=k, où elle devient Les séries unilatérales peuvent être obtenues comme un cas particulier des bilatérales en fixant une des variables b égales à q, au moins quand aucune des variables a est une puissance de q, car alors tous les termes correspondant à n < 0 s'annulent dans ce cas. Parmi les cas les plus simples, on trouve et et Le théorème q-binomial (publié pour la première fois en 1811 par Heinrich August Rothe établit que qui s'obtient en appliquant à plusieurs reprises l'identité Le cas spécial a = 0 est liée à la q-exponentielle.

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Concepts associés (2)

Q-symbole de Pochhammer

En combinatoire, le q-symbole de Pochhammer est un symbole permettant de noter facilement certains produits. C'est l'élément de base des q-analogues. C'est le q-analogue du symbole de Pochhammer défini par Leo Pochhammer. Le q-symbole de Pochhammer est : avec On peut étendre la notation à des produits infinis : On note parfois , lorsqu'il est clair que la variable est q. Un grand nombre de séries génératrices représentant des partitions peuvent être exprimées de façon compacte avec ces symboles.

Q-analogue

En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la combinatoire, un q-analogue d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre q et qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend la limite quand q tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un q-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre q à un théorème déjà connu.