Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)

En théorie des nombres, le théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes, établi en 1891 par Adolf Hurwitz, énonce que pour tout nombre irrationnel , il existe une infinité de rationnels tels que L'hypothèse d'irrationalité de est indispensable, puisque la mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1. L'ensemble des couples vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels et sont premiers entre eux l'est. Les rationnels qui vérifient l'inégalité font partie des réduites de l'irrationnel (ce résultat est établi dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne). La constante est optimale : pour égal par exemple au nombre d'or, si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels . En ce sens, le nombre d'or est — de même que tout nombre qui lui est équivalent — « l' »irrationnel qui s'approxime le plus mal par des fractions. C'est pourquoi on parle de lui comme du plus irrationnel de tous les irrationnels. Optimalité de la constante .Prenons avec et . Si , alors, on souhaite avoir . En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouveSi l'on considère comme un polynôme en , on a , mais, comme et sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour . Donc .soit encore , ce qui donne un nombre fini de solutions pour . Comme doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions. Preuve du théorème proprement dit.Considérons une suite de Farey d'ordre N, avec et deux termes consécutifs tels que . On peut vérifier que : soit soit Si , on a ou . On peut montrer que , d'où Mais d'un autre côté, , ce qui termine l'ébauche de démonstration. Une autre approche consiste à montrer que dans le développement en fraction continue d'un irrationnel, sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie l'inégalité annoncée.