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Concept
Fonction d'Euler
Résumé
thumb|right|Module de dans le plan complexe, coloré de sorte que noir=0, rouge=4.
En mathématiques, la fonction d'Euler est donnée par
Elle est nommée d'après Leonhard Euler, et elle constitue un exemple type du q-analogue d'une série. C'est une forme modulaire, et elle fournit un exemple typique d'interaction entre combinatoire et analyse complexe.
On peut écrire la définition de comme produit infini de façon compacte grâce au symbole de Pochhammer :
Le coefficient du développement en série formelle de est le nombre de partitions de l'entier . Formellement,
L'identité d'Euler, aussi appelé le théorème des nombres pentagonaux, est l'identité
Dans cette somme, les nombres sont les nombres pentagonaux généralisés.
La fonction d'Euler est liée à la fonction êta de Dedekind. Pour tout nombre complexe de partie imaginaire positive, on définit (c'est le carré du ), et la fonction êta est
Les deux fonctions possèdent les symétries du groupe modulaire.
La fonction d'Euler s'exprime aussi simplement à l'aide du q-symbole de Pochhammer :
Le logarithme de la fonction d'Euler est la somme des logarithmes des facteurs du produit ; chacun peut être développé autour de q = 0, ce qui donne :
qui est une série de Lambert avec coefficients . Le logarithme de la fonction d'Euler s'exprime donc par :
avec .
La suite des est la .
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