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Concept
Théorème des nombres pentagonaux
Résumé
En mathématiques, le théorème des nombres pentagonaux, dû au mathématicien suisse Euler, est le théorème qui établit le développement en série formelle de la fonction d'Euler :
Autrement dit :
Le nom du théorème vient de la forme des exposants dans le membre droit de l'égalité : ces nombres sont les nombres pentagonaux généralisés.
Le théorème des nombres pentagonaux est un cas particulier de l'identité du triple produit de Jacobi.
Ce théorème a une interprétation combinatoire en termes de partitions. En particulier, le membre de gauche est une fonction génératrice (pour des raisons similaires sur les fonctions génératrices pour des fonctions de partage non restreintes plus générales) du nombre de décompositions de n en un nombre pair de parties distinctes moins le nombre de décompositions de n en un nombre impair de parties distinctes : quand on explicite les produits du membre gauche de l'égalité, l'exposant n d'un terme xn est obtenu en sommant les diverses façon de décomposer n en parties distinctes. Le signe dépend du nombre de parties.
Par exemple, le coefficient de x5 est 1 parce qu'il existe deux manières de scinder 5 en un nombre pair de parties distinctes (4 + 1 et 3 + 2), mais seulement une manière de le faire pour un nombre impair de parties distinctes (5 lui-même).
Le membre de droite, une fois l'identité prouvée, dit qu'il y a autant de partitions d'un entier en un nombre pair de parties distinctes qu'en un nombre impair de parties distinctes, sauf si l'entier est un nombre pentagonal généralisé.
Par exemple, le coefficient de x6 est 0, et les partitions sont 6, 5 + 1, 4 + 2, 3 + 2 + 1 : il y en a bien autant (2) qui ont un nombre pair de parties et qui ont un nombre impair de parties.
Cette interprétation conduit à une nouvelle démonstration de l'identité par involution, trouvée en 1881 par Fabian Franklin.
Considérons le diagramme de Ferrers de n'importe quelle décomposition de n en parties distinctes (dans le diagramme ci-dessous n = 20 et la décomposition est 7 + 6 + 4 + 3).
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