Nombre congruent

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un entier positif n est dit congruent s'il existe un triangle rectangle dont les trois côtés sont des nombres rationnels et dont l'aire est n. Autrement dit n est un nombre congruent si et seulement s'il existe a, b, c ∈ Q tels que a2 + b2 = c2 et n = ab/2. Montrer qu'un entier donné n'est pas congruent est un problème difficile, non encore résolu en 2022 dans le cas général. Dans son Livre des carrés, Leonardo Fibonacci définit la notion de nombre congruent, en montrant que 5 est congruent (il résout le problème équivalent de trouver trois carrés rationnels en progression arithmétique de raison 5), mais ces questions avaient déjà été abordées par les Grecs (en particulier chez Diophante), et on en retrouve même la trace dans des problèmes babyloniens. Au milieu du , Pierre de Fermat a montré que 1 n'est pas congruent ; c'est à cette occasion qu'il a exposé sa méthode de descente infinie. En 1879, Samuel Roberts, utilisant la méthode de Fermat, obtient divers résultats partiels, par exemple le fait qu'aucun nombre premier de la forme 8k + 3 n'est congruent. En 1983, obtient (satisfaite en particulier par tout nombre congru modulo 8 à 4, 5 ou 6) pour qu'un nombre soit congruent, et montre que cette condition est suffisante si la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est vraie pour certaines courbes elliptiques ; il est possible de vérifier numériquement cette conjecture dans un grand nombre de cas particuliers, ce qui a permis d'établir la liste des nombres congruents jusqu'à ; en 2009, admettant la conjecture, des listes allant jusqu'à 1012 ont pu être établies. La définition la plus simple d'un nombre congruent est que c'est la raison d'une progression arithmétique entre trois carrés de nombres rationnels, autrement dit que n est congruent s'il existe trois rationnels x, y et z tels que .