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Concept
Triplet pythagoricien
Résumé
vignette|Animation illustrant le plus simple triplet pythagoricien : 32 + 42 = 52.
En arithmétique, un triplet pythagoricien ou triplet de Pythagore est un triplet (a, b, c) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : . Le triplet pythagoricien le plus connu est (3, 4, 5).
À tout triplet pythagoricien est associé un triangle de côtés entiers a, b, c, forcément rectangle d’hypoténuse c, ainsi qu'un rectangle de côtés entiers a, b, et de diagonale entière c.
La plus ancienne trace découverte de la connaissance de tels triplets remonterait à la tablette Plimpton 322, un document écrit vers dans l'ancien Irak, qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former ce qu'on appelle aujourd'hui des triplets pythagoriciens.
Mais les spécialistes ne sont pas tous d'accord, et d'autres interprétations de la tablette ont été proposées.
Pythagore, au avant notre ère, n’a laissé aucun texte écrit et les sources diverses le concernant se contredisent. Il est cependant à peu près certain qu'il connaissait le triplet (3, 4, 5). Le philosophe Proclus de Lycie, au de notre ère, dans son commentaire sur le livre I des Éléments d’Euclide (rédigé vers 300 avant notre ère), attribue à Pythagore la découverte de la formule générale que nous notons aujourd’hui , où est un entier strictement positif.
Toujours d'après Proclus, Platon connaissait une deuxième famille infinie de triplets pythagoriciens : .
Les deux formules connues des Grecs montrent qu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens et que tout entier fait partie d'un tel triplet (la première formule faisant intervenir et la deuxième ).
Voici un théorème donnant une formule générant l'ensemble de ces triplets.
La démonstration classique utilise une paramétrisation rationnelle du cercle unité :
Un triplet pythagoricien (a, b, c) est dit « primitif » si les trois entiers a, b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième).
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