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Concept
11-cage de Balaban
Résumé
La 11-cage de Balaban (ou (3-11)-cage de Balaban) est, en théorie des graphes, un graphe régulier possédant 112 sommets et 168 arêtes.
Il porte le nom du mathématicien A. T. Balaban qui en a publié la description en 1973.
La 11-cage de Balaban est une (3,11)-cage, c'est-à-dire un graphe minimal en nombres de sommets ayant une maille de 11 et étant régulier de degrés 3. C'est en fait l'unique (3-11)-cage. Cette unicité a été prouvée par McKay et Myrvold en 2003.
Le diamètre de la 11-cage de Balaban, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, et son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté, il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Le nombre chromatique de la 11-cage de Balaban est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.
L'indice chromatique de la 11-cage de Balaban est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Le groupe d'automorphismes de la 11-cage de Balaban est un groupe d'ordre 64.
Le polynôme caractéristique de la 11-cage de Balaban est : .
Fichier:Balaban_11-cage_3COL.svg|Représentation du [[Coloration de graphe|nombre chromatique]] de la 11-cage de Balaban : 3.
Fichier:Balaban_11-cage_3color_edge.svg|Représentation de l'[[Coloration des arêtes d'un graphe|indice chromatique]] de la 11-cage de Balaban : 3.
Fichier:Balaban 11-cage alternative drawing.svg|Représentation alternative du graphe{{en}} P. Eades, J. Marks, P. Mutzel, S. North, ''Graph-Drawing Contest Report'', Mitsubishi Electric Research Laboratories, TR98-16, 1998.
Théorie des graphes
Cage (graphe)
10-cage de Balaban
Balaban 11-cage (MathWorld)
Balaba
Source officielle
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