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Concept
Homogénéisation
Résumé
Dans les mathématiques et la physique, lhomogénéisation est un champ scientifique qui s'est développé à partir des années 1970 et qui a pour objet l'étude de systèmes multi-échelles. Plus précisément, l'homogénéisation s'attache à l'étude d'équations aux dérivées partielles dont un terme oscille fortement. Ces oscillations sont généralement liées à l'étude de milieux présentant des hétérogénéités à l'échelle microscopique (par exemple, des matériaux composites). L'objet de la théorie de l'homogénéisation est de proposer une équation « effective » (ou « homogénéisée ») généralement plus simple, qui décrive le comportement de la solution de l'équation considérée dans la limite où la petite échelle tend vers 0. Un des buts de cette théorie est de simplifier ainsi la simulation numérique de systèmes physiques complexes faisant intervenir plusieurs échelles.
Initialement conceptualisée pour des équations elliptiques, la méthode d'homogénéisation par l'analyse asymptotique s'étend à divers types d'équations stationnaires ou non, à commencer par les équations de transport décrites par une équation de Boltzmann dont la diffusion constitue une approximation qui est retrouvée par cette approche. On trouve ainsi des exemples d'application dans des domaines aussi divers que la diffusion de masse ou de chaleur, la mécanique des fluides ou le transfert radiatif. Elle s'applique également à la mécanique des milieux continus ou l'électromagnétisme.
On traite ici de la méthode utilisant un développement asymptotique sur l'exemple d'une équation elliptique. L'utilisation de cette technique nécessite que le milieu considéré ait une structure spécifique: périodique (comme ci-dessous), presque-périodique, ou encore aléatoire avec des propriétés de stationnarité et d'ergodicité.
On considère ici une équation elliptique pour la fonction inconnue u(x) dans le domaine
où est un terme source et est la donnée au bord imposée. On suppose que la matrice est définie positive (éventuellement symétrique).
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