Graphe de Nauru

En mathématiques, et plus précisément en théorie des graphes, le graphe de Nauru est un graphe 3-régulier possédant 24 sommets et 36 arêtes. Il a été nommé ainsi par David Eppstein d'après l'étoile à 12 branches ornant le drapeau de Nauru. Le diamètre du graphe de Nauru, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 4 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes. Le nombre chromatique du graphe de Nauru est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal. L'indice chromatique du graphe de Nauru est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal. Le graphe de Nauru est symétrique, c'est-à-dire que son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses arêtes, ses sommets et ses arcs. Il est donc également arête-transitif et sommet-transitif. Le graphe de Nauru est l'unique graphe cubique symétrique à 24 sommets et sa notation dans le Foster Census, le catalogue classifiant tous les graphes cubiques symétriques, est F24A. Le groupe d'automorphismes du graphe de Nauru est d'ordre 144. Sa structure exacte est connue : il est isomorphe au produit direct des groupes symétriques S4 et S3. Le graphe de Petersen généralisé G(n,k) est sommet-transitif si et seulement si n = 10 et k =2 ou si k2 ≡ ±1 (mod n). Il est arête-transitif seulement dans les sept cas qui suivent : (n,k) = (4,1), (5,2), (8,3), (10,2), (10,3), (12,5), (24,5). Donc le graphe de Nauru est un des sept graphes de Petersen généralisés symétriques. Les six autres sont le graphe hexaédrique , le graphe de Petersen , le graphe de Möbius-Kantor , le graphe dodécaédrique et le graphe de Desargues .

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vignette| Une représentation du graphe de Heawood avec trois croisements. C'est le nombre minimum de croisements parmi toutes les représentations de ce graphe, qui a donc un nombre de croisements . En théorie des graphes, le nombre de croisements d'un graphe G est le plus petit nombre d'intersections d'arêtes d'un tracé du graphe G. Par exemple, un graphe est planaire si et seulement si son nombre de croisements est nul. La détermination du nombre de croisements tient une place importante dans le tracé de graphes.

Graphe de Desargues

En théorie des graphes, le graphe de Desargues est un graphe cubique symétrique possédant 20 sommets et 30 arêtes. Il doit son nom à Girard Desargues. Le graphe de Desargues est isomorphe au graphe biparti de Kneser et au graphe généralisé de Petersen GP(10,3). C'est aussi le graphe d'incidence de la configuration de Desargues. Le graphe de Desargues est hamiltonien et peut être décrit par la notation LCF : [5, −5, 9, −9]5.

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