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Concept
Graphe de Tutte
Résumé
Le graphe de Tutte est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 46 sommets et 69 arêtes.
Le graphe de Tutte est découvert par le mathématicien William Tutte en 1946. C'est le premier contre-exemple connu à la conjecture de Tait sur les graphes hamiltoniens, c'est-à-dire que c'est un graphe planaire non-hamiltonien étant 3-sommet-connexe.
Le graphe de Tutte est suivi de la construction de plusieurs autres contre-exemples à cette conjecture. Notamment trois par Grinberg (le 46-graphe de Grinberg, le 44-graphe de Grinberg et le 42-graphe de Grinberg), et deux par Faulkner et Younger (le 44-graphe de Faulkner-Younger et le 42-graphe de Faulkner-Younger).
En 1965, Lederberg construit un contre-exemple à la conjecture de Tait doté de seulement 38 sommets : le graphe de Barnette-Bosák-Lederberg. Lederberg émet l'hypothèse de sa minimalité mais est incapable de la prouver. Il démontre cependant qu'un contre-exemple minimal à la conjecture de Tait doit avoir strictement plus de 24 sommets.
À peu près à la même époque, David Barnette et construisent six contre-exemples d'ordre 38 à la conjecture de Tait, redécouvrant indépendamment le graphe de Barnette.
En 1988, Derek Holton et Brendan McKay prouvent qu'il est impossible de construire un contre-exemple à la conjecture de Tait avec moins de 38 sommets. Dans le même article, ils démontrent que les 6 graphes décrits par D. Barnette et J. Bosák sont les seuls de cet ordre.
Le diamètre du graphe de Tutte, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 5 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Le nombre chromatique du graphe de Tutte est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal.
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