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Concept
Transformation inverse de Laplace
Résumé
La transformation inverse de Laplace (notée ) est la fonction inverse de la transformation de Laplace. La transformation de Laplace a beaucoup d'avantages car la plupart des opérations courantes sur la fonction originale , telle que la dérivation, ou un décalage sur la variable , ont une traduction (plus) simple sur la transformée , mais ces avantages sont sans intérêt si on ne sait pas calculer la transformée inverse d'une transformée donnée.
La transformation inverse de Laplace d'une fonction holomorphe F(p) est une fonction f(t), continue par morceaux, qui a la propriété : , c'est-à-dire telle que :
On peut démontrer que si F a une transformée de Laplace inverse, alors celle-ci est unique (en dehors des points de discontinuité).
Comme la transformation de Laplace, son opération inverse est linéaire :
Il n’existe pas de formule analytique générale permettant de calculer connaissant . On connaît cependant l’expression exacte de pour certaines fonctions particulières .
L'inversion de la transformation de Laplace s'effectue par le biais d'une intégrale dans le plan complexe. En exprimant sous forme de transformée de Fourier et en utilisant la formule d'inversion de Fourier, on démontre la formule de Bromwich-Mellin:
où γ est choisi de sorte que l'intégrale soit convergente, ce qui implique que γ soit supérieur à la partie réelle de toute singularité de et qu'à l'infini, tende vers 0 au moins aussi rapidement que 1/p. Lorsque cette dernière condition n'est pas satisfaite, la formule ci-dessus est encore utilisable s'il existe un entier n tel que |pF(p)| tende vers 0 aussi rapidement que 1/|p|, c'est-à-dire lorsque, pour |p| tendant vers l'infini, |F(p)| est majorée par un polynôme en |p|. En remplaçant par pF(p) dans l'intégrale ci-dessus, on trouve dans le membre de gauche de l'égalité une fonction généralisée à support positif dont la dérivée d'ordre (au sens des distributions) est la fonction généralisée (elle aussi à support positif) cherchée.
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