Polynôme d'Appell généralisé

En mathématiques, une suite de polynômes possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme : où la fonction génératrice est composée des séries : avec ; avec tous les ; avec . Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que est polynôme de degré . Le choix de donne la classe des polynômes de Brenke. Le choix de donne la suite des polynômes de Sheffer. Le choix simultané de et de donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict. Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite Le coefficient est où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n. Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient : De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau puisse être écrit comme avec est que où et ont un développement en série et En faisant la substitution il vient immédiatement la relation de récurrence : Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a et donc tous les sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.

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Concepts associés (3)

Appell sequence

In mathematics, an Appell sequence, named after Paul Émile Appell, is any polynomial sequence satisfying the identity and in which is a non-zero constant. Among the most notable Appell sequences besides the trivial example are the Hermite polynomials, the Bernoulli polynomials, and the Euler polynomials. Every Appell sequence is a Sheffer sequence, but most Sheffer sequences are not Appell sequences. Appell sequences have a probabilistic interpretation as systems of moments.

Suite de Sheffer

En mathématiques, et plus précisément en analyse combinatoire, une suite de Sheffer, nommée d'après Isador M. Sheffer, est une suite de polynômes satisfaisant à des conditions permettant le calcul ombral. Soit p une suite de polynômes (de variable x) telle que deg(pn) = n. On définit un opérateur linéaire Q par : Q p(x) = np(x) ; la famille des p étant une base, ceci définit Q pour tous les polynômes.

Série génératrice

En mathématiques, et notamment en analyse et en combinatoire, une série génératrice (appelée autrefois fonction génératrice, terminologie encore utilisée en particulier dans le contexte de la théorie des probabilités) est une série formelle dont les coefficients codent une suite de nombres (ou plus généralement de polynômes) ; on dit que la série est associée à la suite. Ces séries furent introduites par Abraham de Moivre en 1730, pour obtenir des formules explicites pour des suites définies par récurrence linéaire.