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Concept
Polynôme d'Appell généralisé
Résumé
En mathématiques, une suite de polynômes possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :
où la fonction génératrice est composée des séries :
avec ;
avec tous les ;
avec .
Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que est polynôme de degré .
Le choix de donne la classe des polynômes de Brenke.
Le choix de donne la suite des polynômes de Sheffer.
Le choix simultané de et de donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.
Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite
Le coefficient est
où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n.
Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :
De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau puisse être écrit comme avec est que
où et ont un développement en série
et
En faisant la substitution
il vient immédiatement la relation de récurrence :
Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a et donc tous les sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.
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