Analyse des correspondances multiples
L’analyse des correspondances multiples (ACM) est une méthode d'analyse factorielle adaptée aux données qualitatives (aussi appelées catégorielles). Elle permet d'étudier plus de deux variables contrairement à l'analyse factorielle des correspondances (AFC). Un exemple typique de données utilisées en ACM est celui des enquêtes d’opinion. L'ACM permet d'étudier le lien entre ces variables par l'intermédiaire d'un tableau disjonctif complet (TDC) ou du tableau de Burt (TB). Dans ces tableaux de données, les individus (en lignes) sont décrits par un ensemble de variables qualitatives (en colonnes). Soient individus décrits par variables qualitatives. On considère et l'ensemble des modalités possibles. On construit les variables qualitatives telles que la première variable utilise l'ensemble de modalités , utilise l'ensemble de modalités , et ainsi de suite. Le tableau disjonctif complet à lignes et colonnes, noté , est construit de telle sorte que l’intersection de la ligne et de la colonne (associée à la modalité ) est égale à si l’individu possède la modalité et sinon. Il est possible d'inclure une variable quantitative dans l'analyse, à condition de remplacer ses valeurs numériques en plage de valeur, afin de la convertir en variable catégorielle. Le traitement mathématique du tableau commence par le calcul de la matrice , s'ensuit le calcul du vecteur , qui contient la somme en ligne de la matrice et enfin, le calcul du vecteur , qui contient la somme en colonne de la matrice . On prend également en compte les matrices diagonales et , issues de et respectivement. L'étape clé est une décomposition en valeurs singulières de la matrice suivante : La décomposition de donne accès aux matrices , et telles que , avec et deux matrices unitaires, et la matrice diagonale généralisée. On peut montrer que est de mêmes dimensions que et contient les valeurs singulières ordonnées de la plus grande à la plus petite. Les coefficients diagonaux de sont les valeurs propres de et correspondent à l'inertie de chacun des facteurs.