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Concept
Matrices de Pauli
Résumé
Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment, au facteur i près, une base de l'algèbre de Lie du groupe SU(2).
Elles sont définies comme l'ensemble de matrices complexes de dimensions suivantes :
(où i est l’unité imaginaire des nombres complexes).
Ces matrices sont utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules, notamment dès 1927 dans l'étude non-relativiste du spin de l'électron : l'équation de Pauli.
Ces identités impliquent la formule
Le déterminant et la trace des matrices de Pauli sont :
Par conséquent, les valeurs propres de chaque matrice sont ±1.
Chacune des trois matrices possède deux vecteurs propres :
Pour : et
Pour : et
Pour : et
Les matrices de Pauli obéissent aux relations de commutation et d'anticommutation suivantes :
où est le symbole de Levi-Civita, est le symbole de Kronecker et est la matrice identité. Les relations ci-haut peuvent être vérifiées en utilisant :
Ces relations de commutativité sont semblables à celles sur l'algèbre de Lie et, en effet, peut être interprétée comme l'algèbre de Lie de toutes les combinaisons linéaires de l'imaginaire fois les matrices de Pauli , autrement dit, comme les matrices anti-hermitiennes 2×2 avec trace de 0. Dans ce sens, les matrices de Pauli génèrent . Par conséquent, peut être vu comme les générateurs infinitésimaux du groupe de Lie correspondant SU(2) .
L'algèbre de est isomorphe à l'algèbre de Lie , laquelle correspond au groupe de Lie SO(3), le groupe des rotations en trois dimensions. En d'autres termes, les sont des réalisations de rotations « infinitésimales » dans un espace à trois dimensions (en fait, ce sont les réalisations de plus basse dimension).
Pour un vecteur de rotation en trois dimensions et le vecteur composé des matrices de Pauli, on a la relation suivante:
où est l'angle de rotation (la norme de ) et .
En mécanique quantique, les matrices de Pauli peuvent être remplacées par les matrices , définies par
et .
Leur commutateur est .
En choisissant comme base de les vecteurs , les matrices agissent comme et .
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