En algèbre, la localisation est une des opérations de base de l'algèbre commutative. C'est une méthode qui construit à partir d'un anneau commutatif un nouvel anneau. La construction du corps des fractions est un cas particulier de la localisation.
La localisation consiste à rendre inversibles les éléments d'une partie (« partie multiplicative ») de l'anneau. L'exemple le plus connu est le corps des fractions d'un anneau intègre qui se construit en rendant inversibles tous les éléments non nuls de l'anneau. On peut aussi voir la localisation comme une manière d'envoyer l'anneau dans un anneau « plus grand » dans lequel on a autorisé des divisions par des éléments qui n'étaient auparavant pas inversibles. Par exemple, l'anneau D des nombres décimaux est le localisé Z de Z par rapport à l'ensemble des puissances de 10. De même, l'anneau des fractions dyadiques est le localisé Z de Z par rapport à l'ensemble des puissances de 2.
Soit A un anneau commutatif (unitaire). On cherche à rendre inversibles les éléments d'une partie S de A. Si a et b dans S deviennent inversibles, il en sera de même de leur produit dont l'inverse est alors ab. On travaille donc avec une partie multiplicative, c'est-à-dire un ensemble stable par multiplication, contenant 1 (en général, on exclut 0, car sinon le localisé est simplement l’anneau nul).
La localisation de l'anneau A en la partie S est alors la donnée d'un anneau, noté SA et d'un morphisme tels que : et qui vérifient la propriété universelle suivante : pour tout morphisme d'anneaux , si alors il existe un unique morphisme tel que .
L'anneau SA est aussi noté AS ou A[S] et est appelé l'anneau des fractions de A associé à S, ou à dénominateurs dans S, ou l'anneau des fractions de A par rapport à S.
Pour construire l'anneau localisé, on procède comme dans la construction du corps des fractions mais avec une précaution supplémentaire pour tenir compte du fait que l'anneau n'est pas toujours intègre. Sur le produit cartésien , la relation d'équivalence est alors la suivante : si et seulement s'il existe un élément tel que .
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
This course is aimed to give students an introduction to the theory of algebraic curves, with an emphasis on the interplay between the arithmetic and the geometry of global fields. One of the principl
Galois theory aims at describing the algebraic symmetries of fields. After reviewing the basic material (from the 2nd year course "Ring and Fields") and in particular the Galois correspondence, we wi
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné. Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes : A est local ; ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A et coïncidera avec son radical de Jacobson) ; ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche ; il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible.
En mathématiques, on appelle anneau nul ou anneau trivial l'anneau A réduit au singleton . On a : Cet anneau est commutatif. Son élément neutre pour la multiplication, noté habituellement 1A dans un anneau quelconque, est ici égal à 0A, l'élément neutre pour l'addition. Réciproquement, le seul anneau A vérifiant 1A = 0A est l'anneau nul puisqu'alors, pour tout élément de A, on a : L'anneau nul est l'objet final dans la catégorie des anneaux unitaires (i.e.
En algèbre commutative, le radical (aussi appelé la racine) d'un idéal I dans un anneau commutatif A est l'ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à I. Si A est un anneau principal, I est de la forme aA et son radical est l'idéal engendré par le produit des diviseurs irréductibles de a (chaque irréductible — à produit près par un inversible — n'apparaissant qu'une fois dans ce produit). En particulier dans Z, le radical d'un idéal nZ est l'idéal engendré par le radical de l'entier n.
A correspondence functor is a functor from the category of finite sets and correspondences to the category of k-modules, where k is a commutative ring. By means of a suitably defined duality, new correspondence functors are constructed, having remarkable p ...
ACADEMIC PRESS INC ELSEVIER SCIENCE2023
, ,
Maximally localized Wannier functions (MLWFs) are widely used in electronic-structure calculations. We have recently developed automated approaches to generate MLWFs that represent natural tight-binding sets of atomic-like orbitals; these describe accurate ...
Berlin2023
We extend the group-theoretic notion of conditional flatness for a localization functor to any pointed category, and investigate it in the context of homological categories and of semi-abelian categories. In the presence of functorial fiberwise localizatio ...