Localisation (mathématiques)

En algèbre, la localisation est une des opérations de base de l'algèbre commutative. C'est une méthode qui construit à partir d'un anneau commutatif un nouvel anneau. La construction du corps des fractions est un cas particulier de la localisation. La localisation consiste à rendre inversibles les éléments d'une partie (« partie multiplicative ») de l'anneau. L'exemple le plus connu est le corps des fractions d'un anneau intègre qui se construit en rendant inversibles tous les éléments non nuls de l'anneau. On peut aussi voir la localisation comme une manière d'envoyer l'anneau dans un anneau « plus grand » dans lequel on a autorisé des divisions par des éléments qui n'étaient auparavant pas inversibles. Par exemple, l'anneau D des nombres décimaux est le localisé Z de Z par rapport à l'ensemble des puissances de 10. De même, l'anneau des fractions dyadiques est le localisé Z de Z par rapport à l'ensemble des puissances de 2. Soit A un anneau commutatif (unitaire). On cherche à rendre inversibles les éléments d'une partie S de A. Si a et b dans S deviennent inversibles, il en sera de même de leur produit dont l'inverse est alors ab. On travaille donc avec une partie multiplicative, c'est-à-dire un ensemble stable par multiplication, contenant 1 (en général, on exclut 0, car sinon le localisé est simplement l’anneau nul). La localisation de l'anneau A en la partie S est alors la donnée d'un anneau, noté SA et d'un morphisme tels que : et qui vérifient la propriété universelle suivante : pour tout morphisme d'anneaux , si alors il existe un unique morphisme tel que . L'anneau SA est aussi noté AS ou A[S] et est appelé l'anneau des fractions de A associé à S, ou à dénominateurs dans S, ou l'anneau des fractions de A par rapport à S. Pour construire l'anneau localisé, on procède comme dans la construction du corps des fractions mais avec une précaution supplémentaire pour tenir compte du fait que l'anneau n'est pas toujours intègre. Sur le produit cartésien , la relation d'équivalence est alors la suivante : si et seulement s'il existe un élément tel que .

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