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Concept
Anneau local
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné.
Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes :
A est local ;
ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A et coïncidera avec son radical de Jacobson) ;
ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre ;
pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible ;
pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche ;
il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible.
Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.
Un homomorphisme d'anneaux locaux est un morphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de dans celui de .
Remarque : Pour certains auteurs, un anneau ayant un unique idéal maximal est appelé quasi-local, réservant ainsi le nom d'anneaux locaux aux anneaux quasi-locaux noethériens. Mais cette convention est peu répandue.
Pour tout nombre premier p et tout entier n ≥ 1, l'anneau Z/pZ est local (d'idéal maximal constitué des multiples de p).
Plus généralement, un anneau non nul dans lequel tout élément non inversible est nilpotent est local (et l'idéal maximal est le seul idéal premier).
Les anneaux principaux locaux sont :
les corps commutatifs (d'idéal maximal nul) ;
les anneaux de valuation discrète, comme l'ensemble Z des rationnels de dénominateur non divisible par un nombre premier p fixé (d'idéal maximal pZ).
Plus généralement, tout anneau de valuation est local.
L'anneau des germes des fonctions holomorphes à n variables à l'origine (0,...,0) est un anneau local dont l'idéal maximal est constitué des germes de fonctions holomorphes nulles à l'origine. On peut aussi remplacer les fonctions holomorphes par les fonctions de classe Ck pour un entier naturel fixé k.
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