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Concept
Anneau local
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné.
Critères
Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes :
*A est local ;
*ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A et coïncidera avec son radical de Jacobson) ;
*ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre ;
*pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible ;
*pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche ;
*il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible.
Définitions
Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.
Un homomorphi
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