Paradoxe d'Ehrenfest

Le paradoxe d'Ehrenfest est un paradoxe constaté dans l'étude des repères tournants et plus spécialement ici dans l'étude des disques tournants. Lorsque l'on prend en compte la relativité restreinte on constate que la géométrie semble différente dans le repère inertiel et dans le repère tournant alors qu'il s'agit du même espace physique. Ce paradoxe permet de mettre en évidence que la notion de corps rigide est en général incompatible avec la relativité restreinte. On montre (voir l'effet Sagnac) que la circonférence d'un disque tournant est différente vue dans le repère inertiel R et dans le repère R' attaché au disque tournant, à cause de la contraction de Lorentz. Mais comme le rayon du disque est perpendiculaire au mouvement de rotation, il ne subit pas de contraction de Lorentz. Par conséquent, le rapport entre le périmètre et le rayon est différent de dans un des deux repères. R étant un repère inertiel, l'espace est euclidien, comme le montre la relativité restreinte (contrairement à l'espace-temps qui n'est pas euclidien mais de Minkowski). Et le disque, en rotation ou pas, est un cercle obéissant à la géométrie d'Euclide avec un rapport . Et donc : C'est le paradoxe d'Ehrenfest : dans un repère en rotation, le rapport entre la circonférence et le diamètre est différent de . Si la géométrie était euclidienne dans R', le disque serait « voilé » ou « déchiré ». Mais il ne l'est pas, d'une part parce que nous considérons une rotation « en bloc » mais surtout parce que ce disque est « virtuel » : ce qui nous importe c'est le repère en rotation, le système de coordonnées en rotation, et non spécialement un disque physique que l'on mettrait en rotation à grande vitesse. D'ailleurs un observateur O' placé au bord du disque peut très bien tourner en cercle sans avoir besoin de ce disque. La géométrie n'est donc pas euclidienne dans R'. Avec les raisonnements simples vus dans l'effet Sagnac, on constate que la circonférence est plus grande dans R'. La géométrie y est donc hyperbolique.