Théorème de Stone-Weierstrass

En mathématiques, le théorème de Stone-Weierstrass est une généralisation du théorème d'approximation de Weierstrass en analyse réelle, selon lequel toute fonction continue définie sur un segment peut être approchée uniformément par des fonctions polynomiales. La généralisation par Marshall Stone étend ce résultat aux fonctions continues définies sur un espace compact et à valeurs réelles, en remplaçant l'algèbre des fonctions polynomiales par une sous-algèbre ou un treillis vérifiant des hypothèses naturelles. Soit f une fonction continue de [a, b] dans R. ou encore : L'ensemble C([a, b]) des fonctions à valeurs réelles et continues sur [a, b], muni de la norme infinie est une algèbre de Banach ( une R-algèbre associative et un espace de Banach telle que pour tout f et g). L'ensemble des fonctions polynomiales forme une sous-algèbre de C([a, b]) et le théorème d'approximation de Weierstrass affirme que cette sous-algèbre est dense dans C([a, b]). Supposons le théorème vrai pour toute fonction continue sur un segment fixé [c, d] (avec c < d), et montrons qu'il l'est encore pour une fonction f continue sur un autre segment [a, b] (avec a < b). Choisissons pour cela un homéomorphisme polynomial Φ : [a, b] → [c, d] — par exemple la bijection affine x ↦ c + (x – a)(d – c)/(b – a) — et notons g la fonction f ∘ Φ, qui sur [c, d] est continue donc (par hypothèse) limite uniforme d'une suite de polynômes g. Posons f := g ∘ Φ. C'est encore une fonction polynomiale, définie cette fois sur [a, b] et (puisque Φ est une bijection de [a, b] sur [c, d]) ║f – f║ = ║(g – g)∘ Φ║ = ║g – g║ → 0. Ci-dessous, un exemple d'une suite de polynômes convergeant vers la fonction valeur absolue sur l'intervalle [–1, 1]. vignette|centré|upright=3|Représentation d'une suite de polynômes convergeant vers la valeur absolue. Pour toute fonction f continue périodique, il existe une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f. Issu de la théorie des séries de Fourier, le théorème de Fejér donne un exemple constructif d'une telle suite.