Nilradical | EPFL Graph Search

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En algèbre, le nilradical d'un anneau commutatif est un idéal particulier de cet anneau. Soit A un anneau commutatif. Le nilradical de A est l'ensemble des éléments nilpotents de A. En d'autres termes, c'est l'idéal radical de l'idéal réduit à 0. En notant Nil(A) le nilradical de A, on a les énoncés suivants : Nil(A) est un idéal ; l'anneau quotient A/Nil(A) est réduit, c'est-à-dire qu'il n'a pas d'éléments nilpotents hormis 0 ; Nil(A) est inclus dans chaque idéal premier de A ; si s est un élément de A qui n'appartient pas à Nil(A), alors il existe un idéal premier auquel s n'appartient pas ; si A n'est pas l'anneau nul, Nil(A) est l'intersection de tous les idéaux premiers de A et même, de tous ses . Les preuves des points 4 et 5 reposent sur l'axiome du choix. Démonstrations : Le point méritant justification est la preuve de la stabilité par addition. Soit x et y deux nilpotents, et m, n deux entiers strictement positifs tels que xm = yn = 0. Dans le développement de l'expression (x+y)m+n-1 par la formule du binôme de Newton, chaque terme est alors nul, donc aussi (x+y)m+n-1 = 0 ; Soit un nilpotent de A/Nil(A), projection sur ce quotient d'un x de A, et soit m un entier tel que () = 0.Par définition d'un anneau quotient, xm est donc nilpotent, donc x aussi, donc = 0 dans l'anneau quotient ; Soit x nilpotent, et m tel que xm = 0. En d'autres termes, le produit x.x...x (avec m facteurs tous égaux à x) est nul. Il est donc élément de P. Par définition d'un idéal premier, l'un des facteurs de ce produit doit être dans P, donc x appartient à P ; Soit s ∉ Nil(A), c'est-à-dire s non nilpotent. On note E l'ensemble des idéaux de A qui ne contiennent aucune puissance de s.L'inclusion est un ordre inductif sur E (il est ici important de remarquer que E n'est pas vide car il contient l'idéal réduit à 0 – c'est là qu'on utilise la non-nilpotence de s). D'après le lemme de Zorn, E admet donc un élément maximal. Notons P un tel idéal maximal. On remarque que comme P ne contient aucune puissance de s, P est une partie stricte de A.

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Concepts associés (21)

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Nilradical

Noncommutative ring

In mathematics, a noncommutative ring is a ring whose multiplication is not commutative; that is, there exist a and b in the ring such that ab and ba are different. Equivalently, a noncommutative ring is a ring that is not a commutative ring. Noncommutative algebra is the part of ring theory devoted to study of properties of the noncommutative rings, including the properties that apply also to commutative rings. Sometimes the term noncommutative ring is used instead of ring to refer to an unspecified ring which is not necessarily commutative, and hence may be commutative.

Radical d'un idéal

En algèbre commutative, le radical (aussi appelé la racine) d'un idéal I dans un anneau commutatif A est l'ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à I. Si A est un anneau principal, I est de la forme aA et son radical est l'idéal engendré par le produit des diviseurs irréductibles de a (chaque irréductible — à produit près par un inversible — n'apparaissant qu'une fois dans ce produit). En particulier dans Z, le radical d'un idéal nZ est l'idéal engendré par le radical de l'entier n.

Décomposition primaire en anneaux commutatifs MATH-311: Algebra IV - rings and modules

Couvre la décomposition primaire dans les anneaux commutatifs et son application dans les idéaux premiers.