Courbe sinus du topologue

vignette|La fonction sin(1 / x). En mathématiques, la courbe sinus du topologue est un exemple d'espace topologique connexe mais ni localement connexe, ni connexe par arcs. Elle s'obtient comme courbe représentative d'une fonction dont l'expression fait intervenir la fonction sinus. La courbe sinus fermée du topologue est l'adhérence de cette courbe dans le plan euclidien, et constitue un espace compact satisfaisant des propriétés analogues. La courbe sinus prolongée du topologue est l'union de l'ensemble précédent avec un segment ; elle est connexe par arcs mais pas localement connexe. La courbe sinus du topologue T est définie comme la courbe représentative de la fonction f qui à tout x strictement positif associe sin() et qui vaut 0 en 0 : Cette courbe est munie de la topologie induite par celle du plan euclidien. L'ensemble des valeurs d'adhérence de la fonction f en 0 est égal à celui de la fonction sin en +∞, c'est-à-dire au segment [-1, 1] (en particulier, f n'a pas de limite en 0). Ce phénomène est illustré par l'accumulation d'oscillations de la courbe au voisinage de l'origine. La courbe sinus du topologue T est connexe mais ni localement connexe ni connexe par arcs. C'est parce que l'ensemble contient le point (0,0) mais qu'il n'est pas possible de relier la fonction à l'origine ni de tracer un chemin. L'espace T est l' continue d'un espace localement compact (T est l'image de {−1} ∪ ]0, 1] par l'application g définie par et pour x > 0), mais n'est pas localement compact lui-même. La dimension topologique de T est 1. Deux variantes de la courbe sinus du topologue ont d'autres propriétés intéressantes. La courbe sinus fermée du topologue peut être définie en prenant la courbe sinus du topologue et en ajoutant l'ensemble des points adhérents, . Cet espace est fermé et borné et donc compact par le théorème de Borel-Lebesgue, mais a des propriétés similaires à la courbe sinus du topologue — il est connexe mais ni localement connexe ni connexe par arcs.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (1)

Concepts associés (4)

Séances de cours associées (1)

Triangle-Free Geometric Intersection Graphs with Large Chromatic Number

Bartosz Maria Walczak, Michal Lason

Several classical constructions illustrate the fact that the chromatic number of a graph may be arbitrarily large compared to its clique number. However, until very recently no such construction was known for intersection graphs of geometric objects in the ...

Springer US2013

Comb space

In mathematics, particularly topology, a comb space is a particular subspace of that resembles a comb. The comb space has properties that serve as a number of counterexamples. The topologist's sine curve has similar properties to the comb space. The deleted comb space is a variation on the comb space. Consider with its standard topology and let K be the set . The set C defined by: considered as a subspace of equipped with the subspace topology is known as the comb space.

Espace contractile

En mathématiques, un espace topologique est dit contractile s'il est homotopiquement équivalent à un point. Tous ses groupes d'homotopie sont donc triviaux, ainsi que ses groupes d'homologie de degré > 0. Tout espace vectoriel normé (ou même : tout espace vectoriel topologique sur R) est contractile, à commencer par la droite réelle et le plan complexe. Plus généralement, toute partie étoilée d'un tel espace (en particulier : tout convexe non vide, comme un intervalle réel ou un disque) est clairement contractile.

General topology

In mathematics, general topology (or point set topology) is the branch of topology that deals with the basic set-theoretic definitions and constructions used in topology. It is the foundation of most other branches of topology, including differential topology, geometric topology, and algebraic topology. The fundamental concepts in point-set topology are continuity, compactness, and connectedness: Continuous functions, intuitively, take nearby points to nearby points.

Rétracter: Attachement fondamental du groupe et de la cellule MATH-225: Topology

Couvre le concept d'un sous-espace étant un retrait d'un autre espace et des groupes fondamentaux, y compris des exemples comme la contraction des dents d'un collier.