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Concept
Espace contractile
Résumé
En mathématiques, un espace topologique est dit contractile s'il est homotopiquement équivalent à un point. Tous ses groupes d'homotopie sont donc triviaux, ainsi que ses groupes d'homologie de degré > 0.
Tout espace vectoriel normé (ou même : tout espace vectoriel topologique sur R) est contractile, à commencer par la droite réelle et le plan complexe.
Plus généralement, toute partie étoilée d'un tel espace (en particulier : tout convexe non vide, comme un intervalle réel ou un disque) est clairement contractile.
Le cône de tout espace topologique est contractile.
La n-sphère S n'est pas contractile bien que, pour n ≥ 2, elle soit simplement connexe.
En fait, une variété compacte de dimension n>0 n'est jamais contractile. Voir l'appendice de , où ce résultat est appelé "théorème fondamental de la topologie
différentielle."
La sphère unité d'un espace de Hilbert H de dimension infinie est contractile (et même difféomorphe à H). Plus généralement, dans tout espace vectoriel normé de dimension infinie, la sphère unité est contractile.
Un CW-complexe dont tous les groupes d'homotopie sont triviaux est contractile. Il en va donc de même pour une variété M de classe C. De plus, dans ce cas, l'application identité de M est homotope à une application constante par une homotopie non seulement continue mais de classe C. En effet, dès que deux applications lisses entre variétés lisses sont continûment homotopes, elles sont C-homotopes.
Le « cercle polonais », obtenu en ajoutant à la courbe sinus fermée du topologue un arc joignant (0, –1) à (1, sin 1), n'est pas contractile, bien que tous ses groupes d'homotopie soient triviaux.
Il existe des espaces qui, bien que contractiles c'est-à-dire se rétractant par déformation sur (un sous-espace réduit à) un point, ne se rétractent pas fortement par déformation sur un point.
Soit X un espace topologique non vide.
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Concepts associés (31)
Courbe sinus du topologue
vignette|La fonction sin(1 / x). En mathématiques, la courbe sinus du topologue est un exemple d'espace topologique connexe mais ni localement connexe, ni connexe par arcs. Elle s'obtient comme courbe représentative d'une fonction dont l'expression fait intervenir la fonction sinus. La courbe sinus fermée du topologue est l'adhérence de cette courbe dans le plan euclidien, et constitue un espace compact satisfaisant des propriétés analogues.
Variété (géométrie)
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
Espace contractile
En mathématiques, un espace topologique est dit contractile s'il est homotopiquement équivalent à un point. Tous ses groupes d'homotopie sont donc triviaux, ainsi que ses groupes d'homologie de degré > 0. Tout espace vectoriel normé (ou même : tout espace vectoriel topologique sur R) est contractile, à commencer par la droite réelle et le plan complexe. Plus généralement, toute partie étoilée d'un tel espace (en particulier : tout convexe non vide, comme un intervalle réel ou un disque) est clairement contractile.