Anneau à PGCD

En algèbre commutative, un anneau à PGCD, ou plus rarement anneau de Gauss, est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout couple d'éléments non nuls possède un plus grand diviseur commun. Dans un anneau quelconque, l'existence d'un tel PGCD n'est pas toujours acquise. Les anneaux intègres à PGCD représentent une classe d'anneaux aux propriétés arithmétiques intéressantes à tel point qu'il est fréquent que les anneaux à PGCD ne soient étudiés que dans les anneaux intègres. Dans un anneau A, si a et b sont deux éléments non nuls de A, on dit que : d est un PGCD (plus grand commun diviseur) de a et b si les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de d ; m est un PPCM (plus petit commun multiple) de a et b si les multiples communs à a et b sont les mutiples de m. L'existence d'un PGCD, qui est acquise dans l'ensemble des entiers relatifs, n'est pas une propriété générale à tout anneau : ainsi dans l'anneau Z[i], les éléments a = 6 et b = 2 + 2i ne possèdent pas de PGCD. Les éléments de l'anneau Z[i] s'écrivent u + iv avec u et v entiers relatifs. Le principe est de faire une recherche exhaustive des diviseurs communs de a et b pour démontrer qu'il n'en existe pas de maximum. On remarque que, pour tout élément z de Z[i], le carré de son module, |z| = u + 5v, est un entier. Comme les propriétés de divisibilité se transmettent aux modules, il est possible d'utiliser les propriétés de divisibilité dans l'anneau Z : Soit d = u + iv un diviseur de a = 6 et de b = 2 + 2i ; alors dans Z, |d| = u + 5v divise |a| = 36 et |b| = 24, donc divise 12. Il n'existe qu'un nombre fini de couples d'entiers relatifs (u, v) tels que u + 5v divise 12. Une étude exhaustive conduit à exhiber les 6 diviseurs communs à a et b : Les valeurs correspondantes de |d| étant 1, 4 et 6, cet ensemble n'a pas de maximum. Un anneau à PGCD est un anneau où cette existence est acquise. Tout anneau factoriel (par exemple Z ou un corps) est un anneau à PGCD. Tout anneau de polynômes en une ou plusieurs indéterminées (éventuellement une infinité) à coefficients dans un anneau intègre à PGCD est encore à PGCD.

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