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Concept
Anneau de Bézout
Résumé
En algèbre commutative, un anneau quasi-bézoutien est un anneau où la propriété de Bézout est vérifiée ; plus formellement, c'est un anneau dans lequel tout idéal de type fini est principal.
Un anneau de Bézout, ou anneau bézoutien, est un anneau quasi-bézoutien intègre.
Un idéal de type fini est un idéal engendré par un nombre fini d'éléments. Un idéal engendré par un élément a est dit idéal principal et se note aA. Un idéal engendré par deux éléments a et b se note aA + bA, il est constitué des éléments de A pouvant s'écrire sous la forme au + bv avec u et v éléments de A.
Un anneau intègre est donc de Bézout si et seulement si, pour tous a et b de A, il existe un élément d de A tel que aA + bA = dA. L'implication directe n'est qu'une conséquence de la définition ; la réciproque provient du fait que si un idéal engendré par deux éléments est principal, il en est de même de l'idéal engendré par trois éléments, puis quatre, puis n.
Dans un anneau quasi-bézoutien, tout couple (a,b) d'éléments non nuls possède un PGCD : pgcd(a,b) = d si et seulement si aA + bA = dA. Tout anneau quasi-bézoutien est donc un anneau à PGCD.
De cette égalité, on déduit la propriété suivante appelée identité de Bézout : pour tous éléments a, b et c de A, il existe des solutions à l'équation au + bv = c si et seulement si c est multiple du PGCD de a et b.
Un anneau quasi-bézoutien vérifie :
le lemme de Gauss donc aussi
le lemme d'Euclide (si p est irréductible et divise bc alors il divise b ou c).
Un anneau bézoutien vérifie les propriétés supplémentaires suivantes :
les trois notions de primalité (irréductible, premier, extrémal) sont équivalentes ;
l'anneau est intégralement clos.
Un anneau à PGCD est de Bézout si (et seulement si) c'est un anneau intègre dans lequel deux éléments premiers entre eux sont toujours étrangers, autrement dit dans lequel les trois notions de coprimalité (premiers entre eux, indissolubles entre eux, étrangers) sont équivalentes.
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