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Concept
Théorème de Floquet
Résumé
L'analyse de Floquet s'applique aux systèmes dynamiques lorsque la matrice d'avance d'état au point courant est périodique
Elle permet de trouver une base de projection de la trajectoire dans laquelle chaque coordonnée est une trajectoire périodique amplifiée (ou atténuée) exponentiellement. Ceci permet de voir la trajectoire comme la superposition de modes (les vecteurs de Floquet) plus ou moins actifs selon la valeur du coefficient d'amplification (les multiplieurs de Floquet).
Une matrice solution de l'équation , est une matrice dont les colonnes sont des solutions de cette équation d'où , une matrice fondamentale de cette équation est une matrice solution dont les colonnes forment une base de l'espace vectoriel des solutions de cette équation. Toute solution de cette équation est donc de la forme
Le théorème démontré par Gaston Floquet dit que : si est une matrice périodique de période minimale T et une matrice fondamentale de l'équation alors il existe une matrice périodique (de période minimale T) inversible et une matrice constante telles que
La définition et les propriétés du propagateur associé au système de Floquet sont classiquement obtenues en considérant une matrice fondamentale de ce système.
On définit le propagateur du système par
qui définit à son tour une matrice fondamentale.
On a alors
qui prouve que la matrice est une matrice solution du système, et peut donc s'exprimer à l'aide de la matrice fondamentale .
On a donc
où est une matrice constante.
On diagonalise le propagateur en t=T, ce qui permet de déterminer les valeurs propres de que l'on écrit sous la forme . Ceci permet de définir les matrices et telles que
On définit alors la matrice telle que
La relation de Y(t) avec sa réplique à t+T est alors
On construit à partir des vecteurs colonne de Y d'autres vecteurs non amortis, ce sont les vecteurs de Floquet. On obtient une matrice que l'on définit en "dés-amortissant" et dont les vecteurs colonne sont les vecteurs de Floquet.
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