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Concept
Théorème de Mercer
Résumé
En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, le théorème de Mercer est une représentation d'une fonction symétrique de type positif par le carré d'une série convergente de produits de fonctions. Ce théorème est l'un des résultats phares de James Mercer. C'est un outil théorique important dans la théorie des équations intégrales. Il est aussi utilisé dans la théorie hilbertienne des processus stochastiques (voir et Transformée de Karhunen-Loève).
Pour expliquer le théorème de Mercer, commençons par un cas particulier important ; voir plus bas pour une formulation plus générale.
Le terme noyau, dans ce contexte, est une fonction continue
telle que K(x, s) = K(s, x).
K est dit de type positif si
pour toute suites finies de points x, ...,x de [a, b] et tout choix des réels c, ...,c ( ).
À K on associe l'opérateur intégral défini par :
Pour des raisons techniques nous supposerons que φ peut parcourir l'espace L[a, b] des fonctions réelles de carré intégrable.
Donnons avec force détails la structure de la preuve du théorème de Mercer, particulièrement dans ses rapports avec la théorie spectrale des opérateurs compacts normaux.
L'application est injective.
T est un opérateur compact autoadjoint positif sur L[a,b] ; de plus K(x, x) ≥ 0.
Pour montrer la compacité, on remarque d'abord que l'image de la boule unité de L[a,b] par T est équicontinue. Le théorème d'Ascoli permet d'en déduire que cette image est relativement compacte dans C([a,b]) muni de la norme de la convergence uniforme et a fortiori dans L[a,b].
La théorie spectrale des opérateurs compacts normaux sur un espace de Hilbert montre qu'il existe une base hilbertienne (e) de L[a,b] propre pour T :
Pour tout λi > 0, le vecteur propre e est donc une fonction continue sur [a,b] (comme toutes les images par T d'éléments de L[a,b]). Or
et d'après le théorème de Dini pour les suites croissantes de fonctions continues cette convergence est uniforme, ce qui permet, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz et au critère de Cauchy, de montrer que la série
converge absolument et uniformément en t vers un noyau K0 dont il est aisé de voir qu'il définit le même opérateur que le noyau K.
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