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Concept
Représentation de Heisenberg
Résumé
En mécanique quantique, la représentation de Heisenberg est une des trois formulations et modes de traitement des problèmes dépendant du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette représentation, les opérateurs du système évoluent avec le temps alors que le vecteur d'état quantique ne dépend pas du temps.
Remarque : La représentation de Heisenberg ne doit pas être confondue avec la « mécanique des matrices », quelquefois appelée « mécanique quantique de Heisenberg ».
Donnons nous un espace de Hilbert , un état quantique normé , une observable quantique ainsi qu'un opérateur hamiltonien .
À l'opérateur correspond une base de vecteurs propres orthonormés de valeurs propres :
Dans cette base, le vecteur d'état quantique et l'opérateur quantique se décomposent comme :
où .
La probabilité qu'un état propre soit le résultat de la mesure par d'un état quantique est .
Supposons maintenant que le système évolue dans le temps.
Plus précisément, supposons que les évoluent dans le temps.
L'équation indique qu'il y a deux manières équivalentes de décrire l'évolution temporelle du système quantique.
Soit on fait évoluer soit on fait évoluer .
C'est-à-dire, soit on fait évoluer l'observable (et donc sa base de vecteurs propres) soit on fait évoluer le vecteur d'état .
Ces deux manières équivalentes de décrire l'évolution temporelle sont respectivement la représentation de Heisenberg et la représentation de Schrödinger.
Dans la représentation de Heisenberg :
L'état est constant dans le temps
L'observable évolue dans le temps selon l'équation de Heisenberg :
Dans la représentation de Schrödinger :
L'état évolue dans le temps selon l'équation de Schrödinger :
L'observable peut dépendre explicitement du temps (e.g. un champ magnétique externe dépendant du temps) mais une telle éventuelle dépendance au temps n'a rien à voir avec l'évolution temporelle dictée par l'hamiltonien.
Dénotons respectivement par et les représentations de Heisenberg et de Schrödinger.
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