Extension linéairement disjointe

En mathématiques, deux sous-extensions d'une extension de corps sont dites linéairement disjointes lorsqu'elles sont linéairement indépendantes en un certain sens. Cela permet de déduire des propriétés sur leur compositum ou leur produit tensoriel. On fixe une extension de corps (commutatifs) . Deux sous-extensions sont dites linéairement disjointes sur si toute base (vectorielle) de sur est libre par rapport à , c'est-à-dire que si une somme finie dans est nulle avec les dans , alors ces derniers sont tous nuls. Contrairement à l'apparence immédiate, cette condition est symétrique par rapport à . La linéaire disjonction implique que , mais la réciproque est en général fausse. Exemples Dans l'extension C/Q, les sous-extensions R et Q[i] sont linéairement disjointes sur Q. Les sous-extensions Q[ 21/3 ] et Q[ 21/3 ], où , ne sont pas linéairement disjointes sur Q. En effet, la base de Q[ 21/3 ] vérifie la relation linéaire dans C avec coefficients dans Q[ 21/3 ]. Si un élément de est transcendant sur , alors est linéairement disjointe de toute sous-extension algébrique de . On fixe des sous-extensions comme ci-dessus. sont linéairement disjointes sur si et seulement si l'application canonique qui envoie sur est injectif (son image est toujours égale au compositum ). Si l'une des extensions est algébrique, la propriété d'être linéairement disjointe est équivalente à ce que le produit tensoriel d'algèbres est un corps. Si est une extension finie, la propriété est équivalente à . Si sont des extensions finies, la propriété est équivalente à , ce qui est automatiquement vérifié dès que les degrés et sont premiers entre eux. Si est une extension galoisienne de (et quelconque), la propriété est équivalente à . Soit une variété algébrique intègre sur . Soit une clôture algébrique du corps des fonctions rationnelles de , et soit la fermeture algébrique de dans . C'est un corps algébriquement clos. Alors est géométriquement intègre (i.e. la variété obtenue par changement de base est intègre) si et seulement si et sont linéairement disjointes sur .