Concept
En algèbre, la division synthétique est une méthode de division euclidienne de polynômes demandant moins d'écritures et de calculs que l'algorithme traditionnel. Elle généralise au cas de polynômes quelconques la méthode de Ruffini-Horner. Méthode de Ruffini-Horner Dans le cas de la division euclidienne d'un polynôme P(x) par (x-a)), la division synthétique est essentiellement équivalente à la méthode de Horner. Ainsi, sur l'exemple de la réduction de la division synthétique consiste à écrire les coefficients du dividende (en mettant des zéros pour les termes absents) puis à écrire à gauche a, l'opposé du coefficient constant du diviseur (ici, 3) On descend ensuite le premier coefficient à gauche vers la dernière rangée : puis on multiplie ce nombre par a, et on écrit le résultat dans la rangée intermédiaire, et dans la colonne à droite on additionne dans cette colonne et on recommence jusqu'à la fin du tableau (deux autres étapes ici) Le reste est le nombre le plus à droite (ici, -123) et le quotient a pour coefficients les autres nombres, ici le quotient est donc . On en déduit que : , et donc que : La valeur de en est le reste de la division euclidienne de P par , puisque , et donc que . Cette méthode de calcul de demande environ moitié moins de multiplications que la méthode naïve. La méthode précédente se généralise à la division par un polynôme unitaire D(x) quelconque, avec une légère modification indiquée ici en gras. Dans l'exemple on écrit les coefficients du dividende sur la première ligne et les coefficients de l'opposé du diviseur (sauf le premier) dans une diagonale montant vers la droite, comme ci-dessous : Comme précédemment, on descend ensuite le premier coefficient à gauche vers la dernière rangée : On multiplie ensuite ce coefficient par toute la diagonale de gauche, et on place les résultats en diagonale et sur la droite du nombre descendu : On additionne tous les nombres de la colonne immédiatement à droite. et on recommence ces deux étapes jusqu'au moment où la diagonale suivante dépasserait le dernier coefficient du dividende.