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Concept
Lemme d'itération pour les langages algébriques
Résumé
Le lemme d'itération pour les langages algébriques, aussi connu sous le vocable lemme de Bar-Hillel, Perles et Shamir, donne une condition de répétition nécessaire pour les langages algébriques. Sa version simplifiée pour les langages rationnels est le lemme de l'étoile.
Une version plus élaborée du lemme d'itération est le lemme d'Ogden.
Le lemme indique donc que, dans un langage algébrique, certains facteurs de mots assez longs peuvent être itérés de concert. L'entier est l'« entier d'itération » ou la « constante d'itération », le couple ou la factorisation est une « paire itérante ».
Il existe une variante grammaticale du lemme d'itération : elle dit que la paire itérante peut être choisie grammaticale. Cette variante est bien utile dans certains cas. Voici l'énoncé :
Dans cet énoncé, le mot peut contenir des variables de la grammaire : il appartient au « langage élargi » de la grammaire qui est constitué, par définition, de tous les mots dérivant de , qu'ils contiennent ou non des variables.
Prouvons que le langage
n'est pas algébrique. Supposons le contraire, et soit
la constante d'itération du langage. Considérons le mot . Il existe une factorisation
vérifiant les propriétés du lemme. Comme pour tout , chaque mot contient le même nombre de lettres et , et ce nombre est non nul. Or ceci est impossible si les lettres doivent précéder les lettres et celles-ci les lettres .
La technique consiste à choisir un mot w appartenant au langage, et à choisir les puissances des symboles de l'alphabet comme étant égale à N. En effet, comme |vxy| < N, il devient alors impossible pour x et y de contenir les trois symboles dont la puissance peut varier. (Un langage algébrique, de manière générale, est un langage ou il n'existe que des dépendances maximum deux à deux entre les puissances de symboles).
Comme pour les langages rationnels, le lemme d'itération pour les langages algébriques est une condition nécessaire mais non suffisante. Parmi les lemmes de même nature, le lemme d'Ogden est bien plus puissant.
Section 1.
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