Théorème de Pick

Le théorème de Pick est un théorème de géométrie, qui donne une relation mettant en jeu un polygone sur une grille du plan. Soit un polygone non aplati construit sur une grille de points équidistants (c'est-à-dire des points de coordonnées entières) tel que tous ses sommets soient des points de la grille ; le théorème de Pick fournit une formule simple pour calculer l'aire A de ce polygone en se servant du nombre i de points intérieurs du polygone et du nombre b de points du bord du polygone : Dans l'exemple ci-dessus, nous avons i = 9 et b = 14, ainsi, l'aire est (unités carrées). Le théorème tel qu'énoncé ci-dessus est seulement valide pour les polygones simples, c'est-à-dire ceux constitués d'une pièce et qui ne contiennent pas de "trous". Pour des polygones plus généraux, le "- 1" de la formule est remplacé par "", où est la caractéristique d'Euler de P. Ce résultat fut énoncé en premier par Georg Alexander Pick en 1899 . Il peut être généralisé en trois dimensions et plus par les polynômes d'Ehrhart. La formule se généralise aussi aux surfaces de polyèdres. Considérons un polygone P et un triangle T avec un côté en commun avec P. Supposons que le théorème de Pick soit vrai pour P ; nous voulons montrer qu'il est vrai aussi pour le polygone PT obtenu en ajoutant T à P. Puisque P et T partagent un côté, tous les points de bord le long du côté en commun sont fusionnés avec les points intérieurs, excepté pour les deux points extrêmes du côté, qui sont fusionnés avec les points de bord. Ainsi, en appelant le nombre de points de bord en commun c, nous avons : et De ce qui précède, il suit : et Puisque nous supposons le théorème vrai pour P et pour T séparément, Par conséquent, si le théorème est vrai pour les polygones construits à partir de n triangles, le théorème est aussi vrai pour les polygones construits à partir de n + 1 triangles. Pour finir la démonstration par récurrence, il reste à montrer que le théorème est vrai pour les triangles.