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Concept
Décroissance exponentielle
Résumé
thumb|La décharge d'un condensateur est à décroissance exponentielle.
La décroissance exponentielle d'une quantité est sa diminution au fil du temps selon une loi exponentielle. On l'observe quand la dérivée par rapport au temps de cette quantité (c'est-à-dire son taux de variation instantané) est négative et proportionnelle à la quantité elle-même. Dans la langue courante on emploie souvent, mais improprement, le terme « décroissance exponentielle » pour qualifier une diminution simplement décélérée, quand la valeur absolue de la dérivée est elle-même décroissante.
La décroissance exponentielle est caractérisée par l'équation différentielle linéaire suivante, où N désigne la quantité considérée et λ un nombre positif appelé « constante de décroissance » :
La solution de cette équation est, en notant la valeur de N à l'instant :
thumb|Demi-vie (médiane) et durée de vie moyenne (espérance) d'une population ayant une décroissance exponentielle.
Si l'on considère que la quantité N qui décroît est discrète, c'est-à-dire que N mesure le nombre d'éléments d'un ensemble, alors on peut donner une expression de la durée de vie moyenne d'un élément dans cet ensemble :
On l'appelle aussi « constante de temps ». La fonction N vérifie alors :
Il est plus courant de faire usage de la demi-vie d'un système à décroissance radioactive, qui correspond à la durée au bout de laquelle la quantité N est divisée par 2. On note souvent cette durée . Elle est reliée à la constante de décroissance et à la constante de temps par les relations :
On peut également remplacer l'exponentielle de l'expression de la demi-vie pour obtenir :
En physique, la décroissance exponentielle est caractéristique des phénomènes sans vieillissement, c'est-à-dire qui se produisent avec une égale probabilité quelle qu'ait été leur durée de vie.
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