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Concept
Trompette de Gabriel
Résumé
vignette|Représentation 3D d'une trompette de Gabriel.|upright=1.5|alt=image d'un objet mathématique. Ressemble à un cône donc le sommet aurait été repoussé infiniment loin en déformant graduellement le solide.
La trompette de Gabriel ou solide hyperbolique aigu est une surface de révolution, définie en faisant tourner une portion d'hyperbole autour d'une de ses asymptotes, et en la coupant par un plan orthogonal à l'axe. Ce solide est de longueur infinie dans une direction, sa surface est également infinie, mais son volume est, quant à lui, fini.
Cette figure a été inventée vers 1640 par l'Italien Evangelista Torricelli, qui découvre ses propriétés surprenantes. Ce résultat a eu beaucoup de retentissement au , parmi les mathématiciens d'abord, puis chez les philosophes et les épistémologues, tant le paradoxe semblait insaisissable. Cette diffusion s'inscrit dans un moment charnière de l'histoire des mathématiques, marquant la transition entre une géométrie fidèle à la tradition antique et les concepts modernes. Cette transition nécessite une formalisation rigoureuse de deux notions : le calcul infinitésimal et l'infini, deux idées que la géométrie classique tendait à exclure. Le paradoxe posé par la trompette de Gabriel contribue à faire progresser ces sujets.
À l'époque contemporaine, cette figure reste présente dans de nombreux manuels, comme exercice de calcul infinitésimal. Différents noms lui sont donnés : trompette ou cor de Gabriel d'après l'archange annonçant le Jugement dernier en soufflant dans cet instrument, trompette de Torricelli, chapeau du magicien
La trompette de Gabriel est engendrée par une portion d'hyperbole d'équation
tracée sur l'intervalle et tournant autour de l'axe (Ox). Une définition un peu plus générale utilise l'hyperbole sur l'intervalle et conserve les mêmes propriétés.
La surface de la trompette suit l'équation :
en coordonnées cylindriques selon l'axe (Ox), et l'équation :
en coordonnées cartésiennes.
Son volume est obtenu en intégrant la surface (surface de la section de la trompette par le plan normal à l'axe (Ox) à l'ordonnée x, qui est un disque).
Source officielle
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