Partie positive et partie négative d'une fonction

En mathématiques, à toute fonction réelle f, on peut associer deux fonctions positives, sa partie positive f+ et sa partie négative f−, définies respectivement par : Malgré son nom, la « partie négative » est donc positive. Intuitivement, le graphe par exemple de la partie positive est obtenu en tronquant le graphe de f quand il passe sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire encore en posant 0 en ces points et en laissant inchangé le reste du graphe. Les parties positive et négative sont liées à la fonction initiale par les deux relations suivantes : À partir de ces deux parties on peut exprimer les parties positives et négatives par : Une autre relation, utilisant les crochets de Iverson est : La décomposition d'une fonction quelconque en deux fonctions positives se révèle utile par exemple en théorie de l'intégration. La partie positive x+ et la partie négative x– d'un nombre réel x sont les deux réels positifs définis par : On en déduit les mêmes types de relation que pour les fonctions : ainsi que : Les parties positive et négative d'une fonction f sont donc simplement ses composées par les applications x ↦ x+ et x ↦ x− respectivement.