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Concept
Hyperopération
Résumé
En mathématiques, les hyperopérations (ou hyperopérateurs) constituent une suite infinie d'opérations qui prolonge logiquement la suite des opérations arithmétiques élémentaires suivantes :
addition (n = 1) :
multiplication (n = 2) :
exponentiation (n = 3) :
Reuben Goodstein proposa de baptiser les opérations au-delà de l'exponentiation en utilisant des préfixes grecs : tétration (n = 4), pentation (n = 5), hexation (n = 6), etc. L'hyperopération à l'ordre n peut se noter à l'aide d'une flèche de Knuth au rang n – 2. .
La flêche de Knuth au rang m est définie récursivement par : et
Elle peut aussi se définir à l'aide de la règle : . Chacune croît plus vite que la précédente.
Des suites similaires ont historiquement porté diverses appellations, telles que la fonction d'Ackermann (à 3 arguments), la hiérarchie d'Ackermann, la hiérarchie de Grzegorczyk (plus générale), la version de Goodstein de la fonction d'Ackermann, hyper-n.
La suite d'hyperopérateurs est la suite d'opérations binaires indexée par , définie récursivement comme suit :
(Remarque : pour n = 0, on peut ignorer le premier argument, car alors l'hyperopérateur consiste simplement à incrémenter le second argument d'une unité : succession.)
Pour n = 0, 1, 2, 3, cette définition reproduit les opérations arithmétiques élémentaires, dans l'ordre : succession, addition, multiplication, exponentiation. Par convention donc, les opérations arithmétiques élémentaires sont également à considérer comme des hyperopérateurs.
Pour n ≥ 4, cette suite se poursuit par des nouvelles opérations.
Voici la liste des 7 premières hyperopérations :
Hn(0, b) =
0, où n = 2, ou n = 3, b ≥ 1, ou n ≥ 4, b impair (≥ −1)
1, où n = 3, b = 0, ou n ≥ 4, b pair (≥ 0)
b, où n = 1
b + 1, où n = 0
Hn(a, 0) =
0, où n = 2
1, où n = 0, ou n ≥ 3
a, où n = 1
Hn(a, −1) =
0, où n = 0, ou n ≥ 4
a − 1, où n = 1
−a, où n = 2
1/a , où n = 3
Hn(2, 2) =
3, où n = 0
4, où n ≥ 1, démontrable facilement par récurrence.
Une des premières discussions autour des hyperopérateurs fut celle d'Albert Bennet en 1914, qui développa la théorie des hypéropérations commutatives.
Source officielle
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