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Concept
Équation de Lane-Emden
Résumé
En astrophysique, l'équation de Lane-Emden décrit la structure d'un objet dont l'équation d'état est celle d'un polytrope et qui est soumis à l'influence de son propre champ gravitationnel. Il est de plus supposé que l'objet est à symétrie sphérique, c'est-à-dire qu'il n'est pas significativement déformé par sa propre rotation. L'équation de Lane-Emden permet de déterminer le profil de pression et de densité de l'objet, ainsi que de déterminer les types de configuration qu'il peut avoir (stable ou instable, d'extension finie ou infinie).
Elle est nommée en l'honneur des astrophysiciens Jonathan Lane et Robert Emden. Lane proposa cette équation, en 1870, dans un travail présenté comme étant le premier visant à étudier la structure interne d'une étoile. Y sont également liés Lord Kelvin et A. Ritter à la fin du , puis Ralph H. Fowler et Subrahmanyan Chandrasekhar dans le courant des années 1930. Selon Chandrasekhar, les travaux de Ritter sur ce problème sont plus importants que ceux d'Emden, et l'équation mériterait tout autant de s'appeler équation de Lane-Ritter.
Un fluide polytropique est un fluide dont la pression est reliée à la masse volumique par l'équation d'état polytropique :
où est une constante et un nombre appelé indice adiabatique. En pratique, on définit l'indice polytropique par :
La raison du choix du terme d'indice polytropique plutôt que d'indice adiabatique tient à ce qu'en pratique, il peut y avoir des échanges de chaleur au sein du fluide considéré (par exemple du fait du flux d'énergie issu des réactions de fusion nucléaire au cœur d'une étoile).
Les fluides polytropiques jouent un rôle essentiel en astrophysique : de la matière dégénérée, c'est-à-dire dont la pression est déterminée par la pression de dégénérescence prédite par le principe d'exclusion de Pauli, se comporte comme un polytrope, dont l'indice polytropique varie selon que la matière est relativiste ou non relativiste (il vaut 3 et 3/2 respectivement). Le cœur de plusieurs types d'étoiles peut être considéré en très bonne approximation comme étant composé de matière dégénérée.
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