Symbole de Wythoff

En géométrie, un symbole de Wythoff est une notation courte, créée par le mathématicien Willem Abraham Wythoff, pour nommer les polyèdres réguliers et semi-réguliers utilisant une construction kaléidoscopique, en les représentant comme des pavages sur la surface d'une sphère, sur un plan euclidien ou un plan hyperbolique. Le symbole de Wythoff donne 3 nombres p,q,r et une barre verticale positionnelle (|) qui sépare les nombres avant et après elle. Chaque nombre représente l'ordre des miroirs à un sommet du triangle fondamental. Chaque symbole représente un polyèdre uniforme ou un pavage, bien qu'un même polyèdre/pavage puisse avoir des symboles de Wythoff différents à partir de générateurs symétriques différents. Par exemple, le cube régulier peut être représenté par 3 | 4 2 avec une symétrie Oh et 2 4 | 2 comme un prisme carré avec deux couleurs et une symétrie D4h, autant que 2 2 2 | avec 3 couleurs et une symétrie D2h. Il existe 7 points générateurs avec chaque ensemble de p,q,r : (et quelques formes particulières) Il existe trois cas particuliers : p q (r s) | - C'est un mélange de p q r | et p q s |. | p q r - Les formes adoucies (alternées) donnent cet autre symbole inhabituel. | p q r s - Une forme unique adoucie pour le U75 qui n'est pas constructible au sens de Wythoff. Les lettres p,q,r représentent la forme du triangle fondamental pour la symétrie, plus précisément chaque nombre est le nombre de miroirs réflexifs qui existent à chaque sommet. Sur la sphère, il existe trois types principaux de symétries : (3 3 2), (4 3 2), (5 3 2) et une famille infinie (p 2 2), pour p = 2, 3, ... quelconque (toutes les familles simples ont un angle droit, donc r=2) La position de la barre verticale dans le symbole est utilisée pour indiquer des formes spécifiques (une position de catégorie du point générateur) dans le triangle fondamental. Le point générateur peut être soit sur ou à côté de chaque miroir, activé ou non. Cette distinction engendre 8 (23) formes possibles, négligeant une où le point générateur est sur tous les miroirs.

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Concepts associés (21)

Uniform tiling

In geometry, a uniform tiling is a tessellation of the plane by regular polygon faces with the restriction of being vertex-transitive. Uniform tilings can exist in both the Euclidean plane and hyperbolic plane. Uniform tilings are related to the finite uniform polyhedra which can be considered uniform tilings of the sphere. Most uniform tilings can be made from a Wythoff construction starting with a symmetry group and a singular generator point inside of the fundamental domain.

Uniform tilings in hyperbolic plane

In hyperbolic geometry, a uniform hyperbolic tiling (or regular, quasiregular or semiregular hyperbolic tiling) is an edge-to-edge filling of the hyperbolic plane which has regular polygons as faces and is vertex-transitive (transitive on its vertices, isogonal, i.e. there is an isometry mapping any vertex onto any other). It follows that all vertices are congruent, and the tiling has a high degree of rotational and translational symmetry.

Diagramme de Coxeter-Dynkin

En géométrie, un diagramme de Coxeter-Dynkin est un graphe représentant un ensemble relationnel de miroirs (ou d'hyperplans de réflexion) dans l'espace pour une construction kaléidoscopique. En tant que graphe lui-même, le diagramme représente les groupes de Coxeter, chaque nœud du graphe représente un miroir (facette du domaine) et chaque branche du graphe représente l'ordre de l'angle diédral entre deux miroirs (sur une arête du domaine). En plus, les graphes ont des anneaux (cercles) autour des nœuds pour les miroirs actifs représentant un polytope précis.