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Concept
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Résumé
En géométrie, un diagramme de Coxeter-Dynkin est un graphe représentant un ensemble relationnel de miroirs (ou d'hyperplans de réflexion) dans l'espace pour une construction kaléidoscopique.
En tant que graphe lui-même, le diagramme représente les groupes de Coxeter, chaque nœud du graphe représente un miroir (facette du domaine) et chaque branche du graphe représente l'ordre de l'angle diédral entre deux miroirs (sur une arête du domaine).
En plus, les graphes ont des anneaux (cercles) autour des nœuds pour les miroirs actifs représentant un polytope précis.
Le diagramme est issu du diagramme de Dynkin.
Le diagramme peut aussi représenter les polytopes en ajoutant des anneaux (des cercles) autour des nœuds. Chaque diagramme doit avoir au moins un nœud actif pour représenter un polytope.
Les anneaux expriment une information : si un point générateur est dans ou en dehors du miroir. Plus précisément, un miroir est actif (il crée des réflexions) seulement lorsque des points sont en dehors du miroir, donc ajouter un anneau signifie qu'un point est en dehors du miroir et crée une réflexion.
Les arêtes sont étiquetées avec un entier naturel n représentant un angle diédral de 180/n. Si une arête n'est pas étiquetée, elle est supposée être 3. Si n=2, l'angle est 90 degrés et les miroirs n'ont pas d'interaction, et l'arête peut être omise. Deux miroirs parallèles peuvent être marqués avec « ∞ ».
En principe, n miroirs peuvent être représentés par un graphe complet dans lequel toutes les n*(n-1)/2 sont dessinées. En pratique, les configurations intéressantes de miroirs incluront un nombre d'angles droits, et les arêtes correspondantes peuvent être omises.
Les polytopes et les pavages peuvent être engendrés en utilisant ces miroirs et un point générateur unique. Les images miroir créent des nouveaux points comme réflexions. Les arêtes peuvent être créées entre les points et une image miroir. Les faces peuvent être construites par cycles d'arêtes créées, etc.
Un nœud unique représente un miroir unique. Ceci est appelé le groupe A1.
Source officielle
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