Équipotence

En mathématiques, l’équipotence est une relation entre ensembles, selon laquelle deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cette notion permet de définir la cardinalité, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, qu'il soit fini ou infini. La subpotence est une relation plus faible, satisfaite lorsqu'il existe une injection entre deux ensembles. Elle permet de définir une comparaison de taille entre les ensembles, sans présupposer la construction des nombres cardinaux. Deux ensembles E et F sont dits équipotents s'il existe une bijection de E sur F, c'est-à-dire une application pour laquelle tout élément de F admet un unique antécédent. Un ensemble E est dit subpotent à un ensemble F s'il existe une injection de E dans F, c'est-à-dire une application pour laquelle aucun élément de F ne peut avoir plusieurs antécédents. Un ensemble E est dit strictement subpotent à un ensemble F quand il existe une injection de E dans F, mais pas d'injection de F dans E ou, de façon équivalente par le théorème de Cantor-Bernstein, pas de bijection entre E et F. Si E est subpotent à F , il existe une surjection de F dans E, mais la réciproque demande l'axiome du choix. Tout sous-ensemble d'un ensemble F est subpotent à F. La relation d'équipotence est une relation d'équivalence et est donc : réflexive : tout ensemble est équipotent à lui-même puisque l'application identité est bijective ; symétrique, puisque toute bijection de E sur F admet une réciproque, qui est une bijection de F sur E ; transitive, puisque deux bijections, de E sur F et de F sur G, peuvent être composées pour former une bijection, de E sur G. De même, la relation de subpotence est réflexive et transitive, mais pas symétrique : il existe une injection canonique de l'ensemble vide dans tout ensemble E mais, si E est non vide, pas d'injection (ni même d'application) de E dans ∅ ; pour tout entier naturel n, l'ensemble {0, ... , n– 1} n'est subpotent à aucune de ses parties propres.

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