Wilhelm KillingWilhelm Karl Joseph Killing ( – ) est un mathématicien allemand connu pour ses nombreuses contributions aux théories des algèbres de Lie et des groupes de Lie et à la géométrie non euclidienne. Le père de Killing fut d'abord greffier avant d'exercer les charges de bourgmestre, ce qui amena la famille à déménager à de nombreuses reprises. Killing fut d'abord élève au lycée de Brilon, où il reçut une formation poussée en lettres classiques, tout en découvrant par un de ses professeurs sa passion pour la géometrie.
Cartan's equivalence methodIn mathematics, Cartan's equivalence method is a technique in differential geometry for determining whether two geometrical structures are the same up to a diffeomorphism. For example, if M and N are two Riemannian manifolds with metrics g and h, respectively, when is there a diffeomorphism such that ? Although the answer to this particular question was known in dimension 2 to Gauss and in higher dimensions to Christoffel and perhaps Riemann as well, Élie Cartan and his intellectual heirs developed a technique for answering similar questions for radically different geometric structures.
Produit intérieurEn géométrie différentielle, le produit intérieur est une opération élémentaire sur les formes différentielles, que l'on construit à partir d'un champ de vecteurs. Plus précisément, si est un champ de vecteurs sur une variété différentielle et si désigne l'ensemble des formes différentielles de degré sur alors le produit intérieur par est l'opérateur défini par : pour tous champs de vecteurs sur , C'est une antidérivation de l'algèbre extérieure, i.e., si α est une p-forme et β une forme de degré quelconqu
Georges de RhamGeorges de Rham (né le à Roche (Vaud) et mort le à Lausanne) est un mathématicien et alpiniste suisse connu pour ses contributions à la topologie différentielle. Originaire de Giez (Vaud), fils de Léon, ingénieur, et de Marie, née Dupasquier, il obtient son bachot au gymnase classique de Lausanne (1921), est licencié en sciences de l'université de Lausanne (1925) et docteur en mathématiques de la faculté des sciences de Paris, où il a Elie Cartan comme directeur de thèse (1931).
Cartan connectionIn the mathematical field of differential geometry, a Cartan connection is a flexible generalization of the notion of an affine connection. It may also be regarded as a specialization of the general concept of a principal connection, in which the geometry of the principal bundle is tied to the geometry of the base manifold using a solder form. Cartan connections describe the geometry of manifolds modelled on homogeneous spaces. The theory of Cartan connections was developed by Élie Cartan, as part of (and a way of formulating) his method of moving frames (repère mobile).
Semisimple Lie algebraIn mathematics, a Lie algebra is semisimple if it is a direct sum of simple Lie algebras. (A simple Lie algebra is a non-abelian Lie algebra without any non-zero proper ideals). Throughout the article, unless otherwise stated, a Lie algebra is a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0. For such a Lie algebra , if nonzero, the following conditions are equivalent: is semisimple; the Killing form, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non-degenerate; has no non-zero abelian ideals; has no non-zero solvable ideals; the radical (maximal solvable ideal) of is zero.
Levi decompositionIn Lie theory and representation theory, the Levi decomposition, conjectured by Wilhelm Killing and Élie Cartan and proved by , states that any finite-dimensional real{Change real Lie algebra to a Lie algebra over a field of characterisitic 0} Lie algebra g is the semidirect product of a solvable ideal and a semisimple subalgebra. One is its radical, a maximal solvable ideal, and the other is a semisimple subalgebra, called a Levi subalgebra.
Gaston DarbouxJean Gaston Darboux (, Nîmes – , Paris) est un mathématicien français. Fils de commerçant en mercerie, Gaston Darboux est élève tout d'abord dans une institution protestante, puis au lycée impérial de Nîmes. Après l'obtention des baccalauréats ès lettres et ès sciences il rejoint en 1859 le lycée impérial de Montpellier pour suivre la classe de mathématiques spéciales du professeur Berger. Admissible aux examens oraux de l'École polytechnique en 1860, Gaston Darboux préfère ne pas s'y rendre et effectuer une seconde année de mathématiques spéciales.
G2 (mathématiques)En mathématiques, G2 est le plus petit des groupes de Lie complexes de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée . G2 est de rang 2 et de dimension 14. Sa forme compacte est simplement connexe, et sa forme déployée a un groupe fondamental d'ordre 2. Son groupe d'automorphismes est le groupe trivial. Sa représentation fondamentale est de dimension 7. La forme compacte de G2 peut être décrite comme le groupe d'automorphismes de l'algèbre octonionique. (1,−1,0),(−1,1,0) (1,0,−1),(−1,0,1) (0,1,−1),(0,−1,
Simple Lie groupIn mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Together with the commutative Lie group of the real numbers, , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension.
