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Concept
Groupe de jauge
Résumé
En géométrie différentielle, le groupe de jauge d'un fibré principal est le sous-groupe du groupe des automorphismes du fibré principal qui envoient ses fibres en elles-mêmes.
La notion de groupe de jauge joue un rôle primordial en théorie de jauge.
En particulier, son action de groupe sur un espace de formes de connexions donne lieu à la notion d'espace de module de connexions, nécessaire à la définition de l'homologie de Floer d'instantons.
Soit un -fibré principal sur une variété différentielle et soit son action de groupe agissant par la droite.
Le groupe des automorphismes du fibré est le sous-groupe du groupe des difféomorphismes de qui se projettent à un difféomorphisme de :
Le groupe des automorphismes du -fibré principal est le sous-groupe du groupe des automorphismes du fibré qui préservent l'action de groupe :
Le groupe de jauge de est le sous-groupe du groupe des automorphismes du -fibré principal qui envoient les fibres du fibré en elles-mêmes :
Les éléments du groupe de jauge sont nommés transformations de jauge.
Les transformations de jauge sont en bijection avec les applications -équivariantes , pour l'automorphisme intérieur du groupe structurel sur lui-même.
La correspondance est explicitement donnée par :
Les applications -équivariantes descendent à des sections du fibré associé :
Lorsque le fibré est trivialisé via une section trivialisante locale , les sections sont trivialisées à des fonctions sur à valeurs en :
Soit une forme de connexion sur le fibré principal .
Une transformation de jauge agit par pull-back sur la connexion :
C'est aussi une forme de connexion sur .
Explicitement, un calcul direct montre que la connexion pull-back sur s'écrit comme :
En utilisant une section trivialisante locale du fibré , cette dernière équation se tire en bas à :
où et sont des 1-formes différentielles à valeurs en l'algèbre de Lie sur .
En physique, la 1-forme différentielle est dit être un champ de jauge et la transformation est nommée transformation de jauge.
En particulier, dans le cas où le groupe structurel est abélien, e.
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