Groupe de jauge

En géométrie différentielle, le groupe de jauge d'un fibré principal est le sous-groupe du groupe des automorphismes du fibré principal qui envoient ses fibres en elles-mêmes. La notion de groupe de jauge joue un rôle primordial en théorie de jauge. En particulier, son action de groupe sur un espace de formes de connexions donne lieu à la notion d'espace de module de connexions, nécessaire à la définition de l'homologie de Floer d'instantons. Soit un -fibré principal sur une variété différentielle et soit son action de groupe agissant par la droite. Le groupe des automorphismes du fibré est le sous-groupe du groupe des difféomorphismes de qui se projettent à un difféomorphisme de : Le groupe des automorphismes du -fibré principal est le sous-groupe du groupe des automorphismes du fibré qui préservent l'action de groupe : Le groupe de jauge de est le sous-groupe du groupe des automorphismes du -fibré principal qui envoient les fibres du fibré en elles-mêmes : Les éléments du groupe de jauge sont nommés transformations de jauge. Les transformations de jauge sont en bijection avec les applications -équivariantes , pour l'automorphisme intérieur du groupe structurel sur lui-même. La correspondance est explicitement donnée par : Les applications -équivariantes descendent à des sections du fibré associé : Lorsque le fibré est trivialisé via une section trivialisante locale , les sections sont trivialisées à des fonctions sur à valeurs en : Soit une forme de connexion sur le fibré principal . Une transformation de jauge agit par pull-back sur la connexion : C'est aussi une forme de connexion sur . Explicitement, un calcul direct montre que la connexion pull-back sur s'écrit comme : En utilisant une section trivialisante locale du fibré , cette dernière équation se tire en bas à : où et sont des 1-formes différentielles à valeurs en l'algèbre de Lie sur . En physique, la 1-forme différentielle est dit être un champ de jauge et la transformation est nommée transformation de jauge. En particulier, dans le cas où le groupe structurel est abélien, e.